1,00 Pto. Verifique inicalmente se
é solução da EDO e caso afirmativo determine a solução geral da EDO:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
e diz que
. O conteúdo aqui é uma equação de Riccati: na forma
. Para resolver, vamos usar a técnica que, tendo uma solução particular
, faz a substituição
para reduzir a Riccati a uma equação linear em
.
Passo 2
Primeiro, verificamos que
realmente satisfaz a EDO. Calculando:
Somando:
, que coincide com o lado direito. Logo,
é solução.
Passo 3
Escrevemos a EDO na forma padrão de Riccati. Multiplicando por
temos:
ou seja
Aqui
Passo 4
Fazemos a substituição
. Então
Substituindo em
e usando o fato de que
satisfaz a Riccati, chega-se à equação linear em
:
Passo 5
Resolvemos a equação linear
com fator integrante
Multiplicando por
e integrando:
Logo
Passo 6
Voltando a
, obtemos a solução geral:
Passo 7
Essa é a solução geral da EDO em termos de uma constante arbitrária
e de uma integral indefinida que aparece ao resolver o caso geral da Riccati.
Resposta
y(x)=ex+\frac{e{-3e^{2x}}}{C+4\displaystyle\int e^s e{-3e{2s}}ds}