1,00 Pto. Verifique inicalmente se y part =e^x é solução da EDO e caso afirmativo determine a solução geral da EDO:
y^prime(x) e^-x+4 y^2(x)-2 y(x) e^x=1+2 e^2 x, y part (x)=e^x.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO y'(x)e^-x+4y^2(x)-2y(x)e^x=1+2e^2x e diz que ypart(x)=e^x. O conteúdo aqui é uma equação de Riccati: na forma y'=q0(x)+q1(x)y+q2(x)y^2. Para resolver, vamos usar a técnica que, tendo uma solução particular yp, faz a substituição y=yp+1/u para reduzir a Riccati a uma equação linear em u.

Passo 2

Primeiro, verificamos que yp(x)=e^x realmente satisfaz a EDO. Calculando:
yp'=e^x, yp'e^-x=1,4yp^2=4e^2x,-2ype^x=-2e^2x
Somando: 1+4e^2x-2e^2x=1+2e^2x, que coincide com o lado direito. Logo, yp=e^x é solução.

Passo 3

Escrevemos a EDO na forma padrão de Riccati. Multiplicando por e^x temos:
y'+4e^xy^2-2e^2xy=e^x+2e^3x,
ou seja
y'=-4e^xy^2+2e^2xy+e^x+2e^3x
Aqui q2(x)=-4e^x,;q1(x)=2e^2x,;q0(x)=e^x+2e^3x

Passo 4

Fazemos a substituição y=e^x+1/u. Então
y'=e^x-u'u^2
Substituindo em y'=q0+q1y+q2y^2 e usando o fato de que e^x satisfaz a Riccati, chega-se à equação linear em u:
u'-6e^2xu=4e^x

Passo 5

Resolvemos a equação linear
u'-6e^2xu=4e^x
com fator integrante
mu(x)= expl(integral-6e^2xdxr)=e^-3e^2x
Multiplicando por mu e integrando:
ddxl(u e^-3e^2xr)=4e^x e^-3e^2x Longrightarrow u e^-3e^2x=4integral e^x e^-3e^2xdx+C
Logo
u=e^3e^2xl(C+4integral e^x e^-3e^2xdxr)

Passo 6

Voltando a y=e^x+1/u, obtemos a solução geral:
y(x)=e^x+1u(x)=e^x+e^-3e^2xC+4integral e^s e^-3e^2sds

Passo 7

Essa é a solução geral da EDO em termos de uma constante arbitrária C e de uma integral indefinida que aparece ao resolver o caso geral da Riccati.

Resposta

y(x)=ex+\frac{e{-3e^{2x}}}{C+4\displaystyle\int e^s e{-3e{2s}}ds}

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