Calcular a área da região limitada por:
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada pela parábola definida por x = y^{2} - 4y + 3 e pela reta definida por x + y = 3. Esse é um problema de cálculo de área usando integrais em coordenadas cartesianas, em que as fronteiras são dadas como funções de y. Para resolver, vamos: determinar os pontos de interseção das curvas, identificar qual é a fronteira direita e qual é a esquerda em função de y, montar a integral da diferença dessas funções e, por fim, calculá-la.
Passo 2
Para encontrar os limites de integração em y, igualamos as duas expressões de x:
Isso leva a
Portanto, os valores de y de interseção são y = 0 e y = 3.
Passo 3
A seguir, identificamos as fronteiras em função de y: a reta x + y = 3 pode ser escrita como
que é a fronteira à direita, enquanto a parábola é
que fica à esquerda. A área buscada é então
Passo 4
Agora simplificamos o integrando:
Passo 5
Calculamos a antiderivada:
Passo 6
Por fim, avaliamos de y = 0 até y = 3 e obtemos: