Calcular a área da região limitada por:
x=y^2-4 y+3 e x+y=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pela parábola definida por x = y^{2} - 4y + 3 e pela reta definida por x + y = 3. Esse é um problema de cálculo de área usando integrais em coordenadas cartesianas, em que as fronteiras são dadas como funções de y. Para resolver, vamos: determinar os pontos de interseção das curvas, identificar qual é a fronteira direita e qual é a esquerda em função de y, montar a integral da diferença dessas funções e, por fim, calculá-la.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração em y, igualamos as duas expressões de x:
y^2 - 4y + 3 = 3 - y
Isso leva a
y^2 - 4y + 3 - 3 + y = 0 implies y^2 - 3y = 0 implies y(y - 3) = 0
Portanto, os valores de y de interseção são y = 0 e y = 3.

Passo 3

A seguir, identificamos as fronteiras em função de y: a reta x + y = 3 pode ser escrita como
x = 3 - y,
que é a fronteira à direita, enquanto a parábola é
x = y^2 - 4y + 3,
que fica à esquerda. A área buscada é então
Área = integraly=0^3 l[(3 - y) - (y^2 - 4y + 3)r] , dyÁ

Passo 4

Agora simplificamos o integrando:
(3 - y) - (y^2 - 4y + 3) = 3 - y - y^2 + 4y - 3 = -y^2 + 3y

Passo 5

Calculamos a antiderivada:
integral (-y^2 + 3y) , dy = -y^33 + 3y^22 + C

Passo 6

Por fim, avaliamos de y = 0 até y = 3 e obtemos:
(-y^33 + 3y^22)gr|0^3 = l(-273 + 3cdot 92r) - 0 = -9 + 272 = 92

Resposta

dfrac92

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