1,00 Pto. Resolva:
x y y^prime=y^2+x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem dada por
x,y,y'=y^2+x
Esse tipo de equação não é linear, mas pode ser tratada como uma equação diferencial exata após encontramos um fator integrante. Vamos usar o método de fator integrante em função de x.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma de diferencial:
-(y^2+x),dx + x,y,dy = 0
Aqui identificamos
M(x,y)=-(y^2+x) e N(x,y)=x,y.

Passo 3

Verificamos se a forma é exata calculando
partial M/partial y=-2y e partial N/partial x=y.
Como não são iguais, buscamos um fator integrante mu(x) tal que
partial M/partial y-partial N/partial xN= rac-2y-yx,y=-3x
Isso depende só de x, logo
mu(x)=expl(integral -3x,dxr)=x^-3

Passo 4

Multiplicamos a equação diferencial por mu(x)=x^-3:
M^*(x,y)=-(y^2+x)x^-3=-x^-3y^2-x^-2,
N^*(x,y)=x,y,x^-3=x^-2y
Agora M^*,dx+N^*,dy=0 é exata, pois
partial M^*/partial y=-2x^-3y=partial N^*/partial x.

Passo 5

Procuramos uma função potencial Psi(x,y) tal que
partialPsi/partial x=M^* e partialPsi/partial y=N^*.
Integrando M^* em relação a x:
Psi(x,y)=integral l(-x^-3y^2-x^-2r)dx =y^22x^2+1x+h(y)
Derivando em y e igualando a N^*:
partialPsipartial y=yx^2+h'(y)=x^-2y
Isso implica h'(y)=0, logo h(y)=constante.

Passo 6

A solução geral vem de
Psi(x,y)=y^22x^2+1x=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

y^22x^2+1x=C

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