0,25 Ptos. Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
x y^prime prime+2=y^prime+2 x, y(x)=x^3

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
x,y'' + 2 = y' + 2x
que queremos classificar em ordem e grau algébrico, e depois testar se a função proposta y(x)=x^3 satisfaz essa EDO.

Passo 2

Para determinar a ordem de uma EDO, basta olhar para a maior derivada que aparece. Aqui aparece y'', que é a segunda derivada de y. Portanto, a ordem da equação é 2.

Passo 3

O grau algébrico de uma EDO é o expoente máximo com que a maior derivada aparece depois que a equação estiver livre de funções transcendentes ou frações em derivadas. Nossa EDO é linear em y'' e y', sem frações nem potências maiores que 1. Logo, o grau algébrico é 1.

Passo 4

Para verificar se y(x)=x^3 é solução, calculamos suas derivadas:
y'(x)=3x^2, y''(x)=6x
Substituindo na EDO, o lado esquerdo fica
xcdot y''+2 = xcdot(6x)+2 = 6x^2+2,
e o lado direito
y'+2x = 3x^2 + 2x
Como
6x^2+2 neq 3x^2+2x
em geral, a igualdade não vale identicamente, logo y(x)=x^3 não é solução da EDO.

Passo 5

Resumo:
  • Ordem: 2
  • Grau algébrico: 1
  • y(x)=x^3 não satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Ordem = 2; Grau algébrico = 1; y(x)=x^3 não é solução da EDO.

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