(1.00 pts) Considere o movimento de uma partícula em um campo magnético uniforme. No caso em que a velocidade é perpendicular ao campo, a trajetória descrita é uma circunferência. Mostre que o raio da trajetória é dado por:
R=\frac{m v}{|q| B}
e que o período é dado por:
T=\frac{2 \pi m}{|q| B}

Passo 1

O enunciado trata do movimento de uma partícula de massa m e carga q em um campo magnético uniforme \mathbf{B}, com velocidade inicial \mathbf{v} perpendicular a \mathbf{B}. Nesse caso, a força magnética (força de Lorentz) é sempre perpendicular à velocidade, fazendo com que a partícula descreva uma circunferência. Para encontrar o raio e o período dessa órbita, vamos usar:
  1. A expressão da força magnética de módulo
F_L = |q|\,v\,B,
  1. A expressão da força centrípeta necessária para o movimento circular
F_c = m\,\frac{v^2}{R}.

Passo 2

Igualamos a força magnética ao esforço centrípeto, pois é essa força que mantém a partícula em órbita circular:
|q|\,v\,B \;=\; m\,\frac{v^2}{R}.
Isolando o raio R, obtemos
R \;=\;\frac{m\,v^2}{|q|\,v\,B} \;=\;\frac{m\,v}{|q|\,B}.

Passo 3

Para achar o período T, podemos usar a velocidade angular \omega do movimento circular, que satisfaz
\omega = \frac{v}{R}.
Substituindo R = \tfrac{m\,v}{|q|\,B}, vem
\omega = \frac{v}{\tfrac{m\,v}{|q|\,B}} = \frac{|q|\,B}{m}.
Como o período é T = \tfrac{2\pi}{\omega}, segue
T = \frac{2\pi}{|q|\,B/m} = \frac{2\pi\,m}{|q|\,B}.

Resposta

R = \frac{m\,v}{|q|\,B}, \qquad T = \frac{2\pi\,m}{|q|\,B}.

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