( \mathbf{1 . 0 0} pts) Utilizando a Lei de Ampère, mostre que o campo magnético produzido por um solenóide é dado por:
B=\mu_{0} i_{0} n
onde n e i_{0} são o números de espiras e a corrente no solenóide, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para usar a Lei de Ampère e mostrar que, dentro de um solenóide longo ideal, o campo magnético uniforme é dado por
B = \mu_{0}\,i_{0}\,n
onde i_{0}$ é a corrente em cada espira e \(n é o número de espiras por unidade de comprimento. Vamos aplicar a Lei de Ampère em um caminho retangular que atravessa o interior do solenóide.)

Passo 2

A Lei de Ampère afirma que, para um caminho fechado qualquer,
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = \mu_{0}\,I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total que atravessa a superfície limitada pelo caminho. Escolhemos um retângulo de lados L (paralelo ao eixo do solenóide) e w (perpendicular), de modo que o lado de comprimento L fique dentro do solenóide.

Passo 3

Analisamos as contribuições ao integral de linha \oint \vec B\cdot d\vec\ell:
  1. No trecho interno paralelo ao eixo, \vec B é uniforme e paralelo a d\vec\ell, gerando contribuição B\,L.
  2. Nos trechos externos e nos dois trechos perpendiculares ao eixo, ou \vec B\approx 0 (fora do solenóide) ou \vec B\perp d\vec\ell, então essas partes não contribuem.
Assim,
\oint \vec B\cdot d\vec\ell = B\,L.

Passo 4

Agora calculamos I_{\text{enc}}. Em comprimento L do solenóide há n\,L espiras (pois n é espiras por unidade de comprimento) e cada espira carrega corrente i_{0}. Logo,
I_{\text{enc}} = (n\,L)\,i_{0}.

Passo 5

Substituindo na Lei de Ampère:
B\,L = \mu_{0}\,(n\,L)\,i_{0}.
Cancelando L em ambos os lados, obtemos
B = \mu_{0}\,n\,i_{0}.

Resposta

B = \mu_{0}\,i_{0}\,n.

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