f(x)=l 0,002 e^-0,002 x, se x>0 0 se x<0
a) qual a probabilidade do tempo de vida de uma lâmpada ser superior a 600 horas?
b) qual é o tempo de vida esperado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade de probabilidade $ f(x) $ que descreve o tempo de vida de uma lâmpada. O problema está dividido em duas partes:
a) Queremos saber a probabilidade de a lâmpada durar mais de 600 horas.
b) Queremos descobrir qual é o tempo de vida esperado dessa lâmpada.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição exponencial, que é bem comum para modelar tempos de vida ou de espera.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): qual a probabilidade do tempo de vida de uma lâmpada ser superior a 600 horas?
A função de densidade dada é $ f(x) = 0,002 e^{-0,002x} $ para $ x > 0 $. Isso indica que a distribuição é exponencial com parâmetro $ \lambda = 0,002 $.
Na distribuição exponencial, a probabilidade de a variável aleatória $ X $ ser maior que um certo valor $ x $ é dada por:
f(x) = 0,002 e^-0,002x
Agora, substituindo $ \lambda $ e $ x $ pelos valores dados:
x > 0
Calculando:
lambda = 0,002
Então, a probabilidade de a lâmpada durar mais de 600 horas é de aproximadamente 30,12%.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): qual é o tempo de vida esperado da lâmpada?
Para a distribuição exponencial, o valor esperado $ E(X) $ é dado por:
E(X)
Substituindo $ \lambda = 0,002 $:
E(X) = 1lambda
Portanto, o tempo de vida esperado da lâmpada é de 500 horas.

Resposta

a) A probabilidade de a lâmpada durar mais de 600 horas é de aproximadamente 30,12%.
b) O tempo de vida esperado da lâmpada é de 500 horas.

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