a) qual a probabilidade do tempo de vida de uma lâmpada ser superior a 600 horas?
b) qual é o tempo de vida esperado?
b) qual é o tempo de vida esperado?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade de probabilidade $ f(x) $ que descreve o tempo de vida de uma lâmpada. O problema está dividido em duas partes:
a) Queremos saber a probabilidade de a lâmpada durar mais de 600 horas.
b) Queremos descobrir qual é o tempo de vida esperado dessa lâmpada.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição exponencial, que é bem comum para modelar tempos de vida ou de espera.
Passo 2
Vamos começar pela parte a): qual a probabilidade do tempo de vida de uma lâmpada ser superior a 600 horas?
A função de densidade dada é $ f(x) = 0,002 e^{-0,002x} $ para $ x > 0 $. Isso indica que a distribuição é exponencial com parâmetro $ \lambda = 0,002 $.
Na distribuição exponencial, a probabilidade de a variável aleatória $ X $ ser maior que um certo valor $ x $ é dada por:
Agora, substituindo $ \lambda $ e $ x $ pelos valores dados:
Calculando:
Então, a probabilidade de a lâmpada durar mais de 600 horas é de aproximadamente 30,12%.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): qual é o tempo de vida esperado da lâmpada?
Para a distribuição exponencial, o valor esperado $ E(X) $ é dado por:
Substituindo $ \lambda = 0,002 $:
Portanto, o tempo de vida esperado da lâmpada é de 500 horas.
Resposta
a) A probabilidade de a lâmpada durar mais de 600 horas é de aproximadamente 30,12%.
b) O tempo de vida esperado da lâmpada é de 500 horas.