Em certa cidade entrevistou aleatoriamente 1200 pessoas em relação a satisfação da gestão do atual prefeito, sendo que 300 foram favoráveis a essa gestão.
Construa um intervalo de 95 % de confiança para a verdadeira proporção de pessoas favoráveis a gestão do atual prefeito dessa cidade. Interprete o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a satisfação das pessoas com a gestão do prefeito. A gente tem uma amostra de 1200 pessoas, das quais 300 estão favoráveis. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança de 95% para descobrir qual é a verdadeira proporção de pessoas favoráveis na cidade. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados a intervalos de confiança para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção amostral, que é a proporção de pessoas favoráveis na nossa amostra. Isso é feito dividindo o número de favoráveis pelo total da amostra:
p = 3001200 = 0,25
Ou seja, 25% das pessoas da amostra estão favoráveis.

Passo 3

Agora, vamos determinar o nível de confiança que queremos, que no caso é 95%. Isso significa que estamos 95% confiantes de que o intervalo que vamos calcular contém a verdadeira proporção da população.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o valor crítico $ z $ que corresponde ao nível de confiança de 95%. Esse valor é aproximadamente 1,96. Esse número vem da distribuição normal padrão e indica quantos desvios-padrão nos afastamos da média para cobrir 95% dos dados.

Passo 5

Agora, calculamos o erro padrão da proporção. A fórmula para o erro padrão $ SE $ é:
SE

Passo 6

Com o valor crítico e o erro padrão, podemos calcular a margem de erro $ ME $:
ME

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro da proporção amostral:
Intervalo = p pm ME = 0,25 pm 0,0245
Isso nos dá:
0,2255 <= p <= 0,2745

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a verdadeira proporção de pessoas favoráveis à gestão do prefeito na cidade é de aproximadamente 22,55% a 27,45%. Isso significa que temos 95% de confiança de que entre 22,55% e 27,45% da população realmente apoia a gestão atual.

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