Uma molécula em um gás pode ter quatro diferentes níveis de energia: E1=1 eV, E2=2 eV, E3=3 eV, e E4=4 eV. As probabilidades associadas a esses níveis de energia são P(E1)=0,1, P(E2)=0,4, P(E3)=0,3, e P(E4)=0,2. Calcule: O valor médio da energia da molécula.
b - O desvio padrão da energia da molécula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma molécula que pode estar em quatro níveis de energia diferentes, com valores e probabilidades específicas. O que a gente precisa calcular aqui é:
a) O valor médio da energia da molécula.
b) O desvio padrão da energia da molécula.
Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, como média (ou valor esperado) e desvio padrão. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor médio da energia da molécula. A média é basicamente um “centro de gravidade” das energias, levando em conta as probabilidades de cada nível.
A fórmula para a média é:
Média (mu) = sumi Ei times P(Ei) é
Isso significa que a gente multiplica cada nível de energia pela sua probabilidade e soma tudo.

Passo 3

Vamos aplicar os valores:
  • $ E_1 = 1 , eV $, $ P(E_1) = 0,1 $
  • $ E_2 = 2 , eV $, $ P(E_2) = 0,4 $
  • $ E_3 = 3 , eV $, $ P(E_3) = 0,3 $
  • $ E_4 = 4 , eV $, $ P(E_4) = 0,2 $
Calculando cada termo:
E1 = 1 , eV
P(E1) = 0,1
E2 = 2 , eV
P(E2) = 0,4

Passo 4

Agora, somamos todos esses valores para encontrar a média:
mu = 0,1 + 0,8 + 0,9 + 0,8 = 2,6 , eV
Então, o valor médio da energia da molécula é 2,6 eV.

Passo 5

Agora, vamos calcular o desvio padrão da energia da molécula. O desvio padrão nos mostra o quanto os valores de energia variam em relação à média.
Primeiro, precisamos encontrar a variância, que é a média dos quadrados das diferenças entre cada energia e a média, ponderada pelas probabilidades.
A fórmula da variância ( sigma^2) é:
sigma^2 = sumi (Ei - mu)^2 times P(Ei)
Depois, o desvio padrão é apenas a raiz quadrada da variância:
sigma = raizsigma^2

Passo 6

Vamos calcular cada termo da variância:
(E1 - mu)^2 times P(E1) = (1 - 2,6)^2 times 0,1 = (-1,6)^2 times 0,1 = 2,56 times 0,1 = 0,256
(E2 - mu)^2 times P(E2) = (2 - 2,6)^2 times 0,4 = (-0,6)^2 times 0,4 = 0,36 times 0,4 = 0,144
(E3 - mu)^2 times P(E3) = (3 - 2,6)^2 times 0,3 = (0,4)^2 times 0,3 = 0,16 times 0,3 = 0,048
(E4 - mu)^2 times P(E4) = (4 - 2,6)^2 times 0,2 = (1,4)^2 times 0,2 = 1,96 times 0,2 = 0,392

Passo 7

Agora, somamos todos esses valores para obter a variância:
sigma^2 = 0,256 + 0,144 + 0,048 + 0,392 = 0,84
Então, a variância é 0,84 eV².

Passo 8

Por fim, tiramos a raiz quadrada da variância para encontrar o desvio padrão:
sigma = raiz0,84 approx 0,9165 , eV
Então, o desvio padrão da energia da molécula é aproximadamente 0,9165 eV.

Resposta

a) O valor médio da energia da molécula é 2,6 eV.
b) O desvio padrão da energia da molécula é aproximadamente 0,9165 eV.

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