Uma molécula em um gás pode ter quatro diferentes níveis de energia:
, e
. As probabilidades associadas a esses níveis de energia são
, e
. Calcule: O valor médio da energia da molécula.
b - O desvio padrão da energia da molécula.
b - O desvio padrão da energia da molécula.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma molécula que pode estar em quatro níveis de energia diferentes, com valores e probabilidades específicas. O que a gente precisa calcular aqui é:
a) O valor médio da energia da molécula.
b) O desvio padrão da energia da molécula.
Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, como média (ou valor esperado) e desvio padrão. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor médio da energia da molécula. A média é basicamente um “centro de gravidade” das energias, levando em conta as probabilidades de cada nível.
A fórmula para a média é:
Isso significa que a gente multiplica cada nível de energia pela sua probabilidade e soma tudo.
Passo 3
Vamos aplicar os valores:
- $ E_1 = 1 , eV $, $ P(E_1) = 0,1 $
- $ E_2 = 2 , eV $, $ P(E_2) = 0,4 $
- $ E_3 = 3 , eV $, $ P(E_3) = 0,3 $
- $ E_4 = 4 , eV $, $ P(E_4) = 0,2 $
Calculando cada termo:
Passo 4
Agora, somamos todos esses valores para encontrar a média:
Então, o valor médio da energia da molécula é 2,6 eV.
Passo 5
Agora, vamos calcular o desvio padrão da energia da molécula. O desvio padrão nos mostra o quanto os valores de energia variam em relação à média.
Primeiro, precisamos encontrar a variância, que é a média dos quadrados das diferenças entre cada energia e a média, ponderada pelas probabilidades.
A fórmula da variância (
) é:
Depois, o desvio padrão é apenas a raiz quadrada da variância:
Passo 6
Vamos calcular cada termo da variância:
Passo 7
Agora, somamos todos esses valores para obter a variância:
Então, a variância é 0,84 eV².
Passo 8
Por fim, tiramos a raiz quadrada da variância para encontrar o desvio padrão:
Então, o desvio padrão da energia da molécula é aproximadamente 0,9165 eV.
Resposta
a) O valor médio da energia da molécula é 2,6 eV.
b) O desvio padrão da energia da molécula é aproximadamente 0,9165 eV.