01 - Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas e o que se pede:
- Deve-se integrar a função
em relação a . - Observação:
é a mesma função trigonométrica .
A partir daqui vamos transformar a potência em algo integrável usando identidades trigonométricas e substituições.
Passo 2
Usar a identidade pitagórica entre cotangente e cossecante:
Dessa identidade obtemos
Logo
Aplicando isso com
temos
Isso transforma a integral em soma de três integrais mais simples.
Passo 3
Escrevendo a integral como soma:
Agora vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 4
Calcular
.
Lembrando que
, então podemos reescrever a integral:
Passo 5
Calcular
.
Escrevemos
, usando
. Agora fazemos a substituição
Derivando, obtemos
ou seja
Substituindo na integral:
Integramos em
:
Voltando a
(lembre que
):
Passo 6
Agora somamos os resultados das três integrais da Passo 3:
Somando (absorvendo constantes
numa única constante
):
Combine os termos em
:
Portanto a antiderivada fica
Passo 7
Breve verificação (opcional, para ganhar confiança): derivando
usando
e regra da cadeia, obtém-se de volta
. Isso confirma que a antiderivada está correta.