01 - Calcule \int \operatorname{cotg}^{4}(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \operatorname{cotg}^{4}(3x)\,dx.
Informações dadas e o que se pede:
  • Deve-se integrar a função \operatorname{cotg}^{4}(3x) em relação a x.
  • Observação: \operatorname{cotg} x é a mesma função trigonométrica \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}.
    A partir daqui vamos transformar a potência em algo integrável usando identidades trigonométricas e substituições.

Passo 2

Usar a identidade pitagórica entre cotangente e cossecante:
1+\cot^2 t=\csc^2 t.
Dessa identidade obtemos
\cot^2 t=\csc^2 t-1.
Logo
\cot^4 t=(\cot^2 t)^2=(\csc^2 t-1)^2=\csc^4 t-2\csc^2 t+1.
Aplicando isso com t=3x temos
\operatorname{cotg}^{4}(3x)=\csc^4(3x)-2\csc^2(3x)+1.
Isso transforma a integral em soma de três integrais mais simples.

Passo 3

Escrevendo a integral como soma:
\int \operatorname{cotg}^{4}(3x)\,dx =\int \csc^4(3x)\,dx -2\int \csc^2(3x)\,dx + \int 1\,dx.
Agora vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int \csc^2(3x)\,dx.
Lembrando que \dfrac{d}{dx}\cot(3x)=-3\csc^2(3x), então podemos reescrever a integral:
\int \csc^2(3x)\,dx = \int -\frac{1}{3}\,d(\cot(3x)) = -\frac{1}{3}\cot(3x) + C.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int \csc^4(3x)\,dx.
Escrevemos \csc^4(3x)=\csc^2(3x)\big(1+\cot^2(3x)\big), usando \csc^2=\;1+\cot^2. Agora fazemos a substituição
u=\cot(3x).
Derivando, obtemos
du=\frac{d}{dx}\cot(3x)\,dx = -3\csc^2(3x)\,dx,
ou seja
\csc^2(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\,du.
Substituindo na integral:
\int \csc^4(3x)\,dx = \int \csc^2(3x)\big(1+\cot^2(3x)\big)\,dx = \int (1+u^2)\left(-\frac{1}{3}\,du\right).
Integramos em u:
\int (1+u^2)\left(-\frac{1}{3}\right)du = -\frac{1}{3}\left(u+\frac{u^3}{3}\right)+C = -\frac{1}{3}u -\frac{1}{9}u^3 + C.
Voltando a x (lembre que u=\cot(3x)):
\int \csc^4(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cot(3x) -\frac{1}{9}\cot^3(3x) + C.

Passo 6

Agora somamos os resultados das três integrais da Passo 3:
  • \displaystyle \int \csc^4(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cot(3x) -\frac{1}{9}\cot^3(3x) + C_1.
  • \displaystyle -2\int \csc^2(3x)\,dx = -2\left(-\frac{1}{3}\cot(3x)\right) = \frac{2}{3}\cot(3x).
  • \displaystyle \int 1\,dx = x + C_2.
Somando (absorvendo constantes C_1,C_2 numa única constante C):
\int \operatorname{cotg}^{4}(3x)\,dx = \Big(-\frac{1}{3}\cot(3x) -\frac{1}{9}\cot^3(3x)\Big) + \frac{2}{3}\cot(3x) + x + C.
Combine os termos em \cot(3x):
-\frac{1}{3}\cot(3x)+\frac{2}{3}\cot(3x)=\frac{1}{3}\cot(3x).
Portanto a antiderivada fica
\int \operatorname{cotg}^{4}(3x)\,dx = x + \frac{1}{3}\cot(3x) - \frac{1}{9}\cot^3(3x) + C.

Passo 7

Breve verificação (opcional, para ganhar confiança): derivando
F(x)=x + \frac{1}{3}\cot(3x) - \frac{1}{9}\cot^3(3x)
usando \dfrac{d}{dx}\cot(3x)=-3\csc^2(3x) e regra da cadeia, obtém-se de volta \operatorname{cotg}^{4}(3x). Isso confirma que a antiderivada está correta.

Resposta

x + \dfrac{1}{3}\cot(3x) - \dfrac{1}{9}\cot^{3}(3x) + C

Exercícios relacionados