Demonstre que:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função delta de Dirac aparece como
. - A função multiplicadora é
. - A integração é em
de a . - A tarefa é demonstrar que o valor da integral é
.
Passo 2
Lembrete importante sobre a delta de Dirac (propriedade de “peneira” ou sifting):
desde que
seja contínua em
. Essa fórmula significa que a delta “pega” o valor da função no ponto onde ela se anula o argumento da delta.
Também é útil observar que a delta é par em seu argumento: para qualquer
,
Aplicando isso ao nosso caso, com
, temos
Passo 3
Definimos
. A função
é contínua em todo
, em particular em
. Pela propriedade de peneira, usando
, obtemos diretamente:
Calculando
:
Logo a integral vale
.
Passo 4
(Método alternativo, só para reforçar a ideia) Façamos a mudança de variável
. Então
e, como os limites são
a
, permanece a integral sobre toda a reta. Temos:
Note que
, então
Portanto a integral é
Pela propriedade de peneira a última integral vale
, já que a delta seleciona
. Resultado:
Passo 5
Conclusão e observação prática: a aplicação direta da propriedade
resolve a conta rapidamente. Aqui a continuidade da exponencial garante que podemos avaliar sem problemas em
. Força aí — sempre que vir
multiplicando uma função e integrada sobre toda a reta, pense na propriedade de peneira!