Demonstre que:
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(2-t) e^{-2(x-t)} d t=e^{-2(x-2)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(2-t)\,e^{-2(x-t)}\,dt
Informações dadas:
  • A função delta de Dirac aparece como \delta(2-t).
  • A função multiplicadora é e^{-2(x-t)}.
  • A integração é em t de -\infty a +\infty.
  • A tarefa é demonstrar que o valor da integral é e^{-2(x-2)}.

Passo 2

Lembrete importante sobre a delta de Dirac (propriedade de “peneira” ou sifting):
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-a)\,f(t)\,dt = f(a),
desde que f seja contínua em t=a. Essa fórmula significa que a delta “pega” o valor da função no ponto onde ela se anula o argumento da delta.
Também é útil observar que a delta é par em seu argumento: para qualquer u,
\delta(-u)=\delta(u).
Aplicando isso ao nosso caso, com u=t-2, temos
\delta(2-t)=\delta(-(t-2))=\delta(t-2).

Passo 3

Definimos f(t)=e^{-2(x-t)}. A função f é contínua em todo \mathbb{R}, em particular em t=2. Pela propriedade de peneira, usando \delta(2-t)=\delta(t-2), obtemos diretamente:
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(2-t)\,e^{-2(x-t)}\,dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-2)\,f(t)\,dt = f(2).
Calculando f(2):
f(2)=e^{-2(x-2)}.
Logo a integral vale e^{-2(x-2)}.

Passo 4

(Método alternativo, só para reforçar a ideia) Façamos a mudança de variável u=2-t. Então du=-dt e, como os limites são -\infty a +\infty, permanece a integral sobre toda a reta. Temos:
\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(2-t)\,e^{-2(x-t)}\,dt =\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(u)\,e^{-2(x-(2-u))}\,du.
Note que x-(2-u)=x-2+u, então
e^{-2(x-(2-u))}=e^{-2(x-2)}e^{-2u}.
Portanto a integral é
e^{-2(x-2)}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(u)\,e^{-2u}\,du.
Pela propriedade de peneira a última integral vale e^{0}=1, já que a delta seleciona u=0. Resultado:
e^{-2(x-2)}\cdot 1 = e^{-2(x-2)}.

Passo 5

Conclusão e observação prática: a aplicação direta da propriedade \int \delta(t-a)f(t)\,dt=f(a) resolve a conta rapidamente. Aqui a continuidade da exponencial garante que podemos avaliar sem problemas em t=2. Força aí — sempre que vir \delta(\text{algo}) multiplicando uma função e integrada sobre toda a reta, pense na propriedade de peneira!

Resposta

e^{-2(x-2)}

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