02 - Calcule \int \operatorname{tg}^{5}(5 x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{tg}^{5}(5x)\,dx.
Informações dadas: a função integranda é \operatorname{tg}^{5}(5x), ou seja, a tangente de 5x elevada à quinta potência. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, expressa em termos de x, mais a constante de integração.

Passo 2

Estratégia inicial (explicação didática das identidades trigonométricas que vou usar).
Uma identidade trigonométrica útil é
\operatorname{sec}^2 t = 1 + \operatorname{tg}^2 t,
que segue da identidade pitagórica \cos^2 t + \sin^2 t = 1 dividida por \cos^2 t. Dela obtemos
\operatorname{tg}^2 t = \operatorname{sec}^2 t - 1.
Quando temos potências ímpares de \operatorname{tg}, é comum separar um fator \operatorname{tg} t e reescrever as potências pares usando \operatorname{tg}^2 t = \operatorname{sec}^2 t - 1. Isso facilita substituições envolvendo \operatorname{sec} t, porque a derivada de \operatorname{sec} t é \operatorname{sec} t\operatorname{tg} t.

Passo 3

Aplicando a ideia ao integrando: escrevo \operatorname{tg}^{5}(5x) como (\operatorname{tg}^2(5x))^2\cdot \operatorname{tg}(5x) e substituo \operatorname{tg}^2(5x)=\operatorname{sec}^2(5x)-1. Assim,
\operatorname{tg}^{5}(5x)=\big(\operatorname{sec}^2(5x)-1\big)^2\cdot\operatorname{tg}(5x).
Faço a expansão do quadrado:
\big(\operatorname{sec}^2(5x)-1\big)^2=\operatorname{sec}^4(5x)-2\operatorname{sec}^2(5x)+1.
Portanto
\operatorname{tg}^{5}(5x)=\big(\operatorname{sec}^4(5x)-2\operatorname{sec}^2(5x)+1\big)\operatorname{tg}(5x).

Passo 4

Preparar a substituição adequada.
A derivada de \operatorname{sec}(5x) é
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}(5x)\big)=5\operatorname{sec}(5x)\operatorname{tg}(5x).
Logo, se eu fizer a substituição
u=\operatorname{sec}(5x),
então
du=5\operatorname{sec}(5x)\operatorname{tg}(5x)\,dx, \quad\text{ou}\quad \operatorname{sec}(5x)\operatorname{tg}(5x)\,dx=\frac{du}{5}.
Quero escrever todo o integrando de forma a aparecer o fator \operatorname{sec}(5x)\operatorname{tg}(5x)\,dx. Note que
\big(\operatorname{sec}^4(5x)-2\operatorname{sec}^2(5x)+1\big)\operatorname{tg}(5x) = \big(\operatorname{sec}^3(5x)-2\operatorname{sec}(5x)+\operatorname{sec}^{-1}(5x)\big)\cdot\big(\operatorname{sec}(5x)\operatorname{tg}(5x)\big).
Aqui apenas fatorizei \operatorname{sec}(5x) de cada termo para formar \operatorname{sec}(5x)\operatorname{tg}(5x).

Passo 5

Fazer a mudança de variável.
Com u=\operatorname{sec}(5x) e \operatorname{sec}(5x)\operatorname{tg}(5x)\,dx=\dfrac{du}{5}, a integral se transforma em
\int \operatorname{tg}^{5}(5x)\,dx = \int \big(\operatorname{sec}^3(5x)-2\operatorname{sec}(5x)+\operatorname{sec}^{-1}(5x)\big)\cdot\big(\operatorname{sec}(5x)\operatorname{tg}(5x)\,dx\big)
= \int \big(u^3-2u+u^{-1}\big)\cdot\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int\big(u^3-2u+u^{-1}\big)\,du.

Passo 6

Integrar termo a termo e justificar as regras usadas.
Usarei as regras básicas de integração:
  • Regra da potência: \displaystyle \int u^n\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
  • Integral do inverso: \displaystyle \int u^{-1}\,du=\ln|u|+C.
Aplicando:
\int\big(u^3-2u+u^{-1}\big)\,du = \int u^3\,du - 2\int u\,du + \int u^{-1}\,du = \frac{u^4}{4} - 2\cdot\frac{u^2}{2} + \ln|u| + C.
Simplificando:
\frac{u^4}{4} - u^2 + \ln|u| + C.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{5} que estava fora:
\frac{1}{5}\left(\frac{u^4}{4} - u^2 + \ln|u|\right) + C = \frac{u^4}{20} - \frac{u^2}{5} + \frac{1}{5}\ln|u| + C.

Passo 7

Voltar à variável x.
Lembrando que u=\operatorname{sec}(5x), substituo:
\int \operatorname{tg}^{5}(5x)\,dx = \frac{1}{20}\operatorname{sec}^4(5x) - \frac{1}{5}\operatorname{sec}^2(5x) + \frac{1}{5}\ln\big|\operatorname{sec}(5x)\big| + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{20}\operatorname{sec}^4(5x)-\frac{1}{5}\operatorname{sec}^2(5x)+\frac{1}{5}\ln\big|\operatorname{sec}(5x)\big|+C

Exercícios relacionados