02 - Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
, ou seja, a tangente de
elevada à quinta potência. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, expressa em termos de
, mais a constante de integração.
Passo 2
Estratégia inicial (explicação didática das identidades trigonométricas que vou usar).
Uma identidade trigonométrica útil é
que segue da identidade pitagórica
dividida por
. Dela obtemos
Quando temos potências ímpares de
, é comum separar um fator
e reescrever as potências pares usando
. Isso facilita substituições envolvendo
, porque a derivada de
é
.
Passo 3
Aplicando a ideia ao integrando: escrevo
como
e substituo
. Assim,
Faço a expansão do quadrado:
Portanto
Passo 4
Preparar a substituição adequada.
A derivada de
é
Logo, se eu fizer a substituição
então
Quero escrever todo o integrando de forma a aparecer o fator
. Note que
Aqui apenas fatorizei
de cada termo para formar
.
Passo 5
Fazer a mudança de variável.
Com
e
, a integral se transforma em
Passo 6
Integrar termo a termo e justificar as regras usadas.
Usarei as regras básicas de integração:
- Regra da potência:
para . - Integral do inverso:
.
Aplicando:
Simplificando:
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 7
Voltar à variável
.
Lembrando que
, substituo: