03 - Calcule
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular a primitiva (ou antiderivada)
Ou seja, encontrar uma função
tal que
. As únicas informações dadas são a forma do integrando; precisamos usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição para integrar.
Passo 2
Identidade trigonométrica útil: para qualquer
vale
onde
e
. Rearranjando obtemos
Essa identidade é muito prática porque
tem primitiva simples (relacionada com
).
Passo 3
Aplicando a identidade ao integrando:
Expliquei: usei linearidade da integral para separar as duas parcelas.
Passo 4
Calcular
por substituição. Defina
Então
Substituindo na integral:
Agora lembrar da primitiva de
: como
, segue que
Portanto
Passo 5
Calcular a outra integral simples:
Passo 6
Juntando os dois resultados (lembrando que as constantes se combinam numa única
):
Podemos verificar rapidamente derivando: a derivada de
é
(pela regra da cadeia), e a derivada de
é
. Soma:
, que é o integrando original — portanto está correto. Força aí, você já chegou!