03 - Calcule \int x \cdot \operatorname{cotg}^{2}\left(2 x^{2}\right) d x

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular a primitiva (ou antiderivada)
\int x \cdot \operatorname{cotg}^{2}\!\left(2 x^{2}\right)\,dx.
Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=x\operatorname{cotg}^{2}\!\left(2x^{2}\right). As únicas informações dadas são a forma do integrando; precisamos usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição para integrar.

Passo 2

Identidade trigonométrica útil: para qualquer t vale
1+\operatorname{cotg}^{2}t=\csc^{2}t,
onde \operatorname{cotg}t=\dfrac{\cos t}{\sin t} e \csc t=\dfrac{1}{\sin t}. Rearranjando obtemos
\operatorname{cotg}^{2}t=\csc^{2}t-1.
Essa identidade é muito prática porque \csc^{2}t tem primitiva simples (relacionada com \operatorname{cotg}t).

Passo 3

Aplicando a identidade ao integrando:
\int x\operatorname{cotg}^{2}\!\left(2x^{2}\right)\,dx = \int x\bigl(\csc^{2}\!\left(2x^{2}\right)-1\bigr)\,dx = \int x\csc^{2}\!\left(2x^{2}\right)\,dx - \int x\,dx.
Expliquei: usei linearidade da integral para separar as duas parcelas.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int x\csc^{2}\!\left(2x^{2}\right)\,dx por substituição. Defina
u=2x^{2}.
Então
du=4x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{4}\,du.
Substituindo na integral:
\int x\csc^{2}\!\left(2x^{2}\right)\,dx = \frac{1}{4}\int \csc^{2}u\,du.
Agora lembrar da primitiva de \csc^{2}u: como \dfrac{d}{du}\operatorname{cotg}u=-\csc^{2}u, segue que
\int \csc^{2}u\,du = -\operatorname{cotg}u + C.
Portanto
\int x\csc^{2}\!\left(2x^{2}\right)\,dx = \frac{1}{4}\bigl(-\operatorname{cotg}u\bigr)+C = -\frac{1}{4}\operatorname{cotg}\!\left(2x^{2}\right)+C.

Passo 5

Calcular a outra integral simples:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.

Passo 6

Juntando os dois resultados (lembrando que as constantes se combinam numa única C):
\int x\operatorname{cotg}^{2}\!\left(2x^{2}\right)\,dx = \left(-\frac{1}{4}\operatorname{cotg}\!\left(2x^{2}\right)\right) - \left(\frac{x^{2}}{2}\right) + C.
Podemos verificar rapidamente derivando: a derivada de -\tfrac{1}{4}\operatorname{cotg}(2x^{2}) é x\csc^{2}(2x^{2}) (pela regra da cadeia), e a derivada de -\tfrac{x^{2}}{2} é -x. Soma: x(\csc^{2}(2x^{2})-1)=x\operatorname{cotg}^{2}(2x^{2}), que é o integrando original — portanto está correto. Força aí, você já chegou!

Resposta

-\frac{1}{4}\operatorname{cotg}\!\left(2x^{2}\right)-\frac{x^{2}}{2}+C

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