01-Calcule os limites a seguir, caso existam:
\lim _{(x, y) \longrightarrow(3,4)} \frac{x^{2} y+3 x y^{2}}{3 x^{2} y^{2}-2 x^{3} y}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando (x,y) tende a (3,4):
\lim_{(x,y)\to(3,4)} \frac{x^{2}y + 3xy^{2}}{3x^{2}y^{2} - 2x^{3}y}.
Informações importantes dadas:
  • A função a avaliar é a razão entre dois polinômios em x e y.
  • O ponto de aproximação é (3,4).
  • A tarefa é determinar o valor do limite, caso exista.

Passo 2

Ideia que vou usar (explicada devagarinho): polinômios em x e y são funções contínuas — isto é, seus limites quando (x,y)\to(a,b) podem ser obtidos por substituição direta. A razão (quociente) de duas funções contínuas é contínua no ponto sempre que o denominador no ponto for diferente de zero. Portanto, se ao substituir (x,y)=(3,4) o denominador for distinto de zero, podemos obter o limite apenas substituindo os valores no numerador e no denominador.
Um exemplo rápido para fixar a ideia: \lim_{(x,y)\to(1,2)}(x+y)=1+2=3 porque x+y é contínua. Mesma ideia aqui, só que com uma razão — preciso verificar se o denominador não zera em (3,4).

Passo 3

Calcular o numerador em (3,4). Substituindo x=3 e y=4:
x^{2}y + 3xy^{2} \Big|_{(3,4)} = (3)^{2}\cdot 4 + 3\cdot 3 \cdot (4)^{2}.
Agora calculo cada termo:
(3)^{2}\cdot 4 = 9\cdot 4 = 36,
3\cdot 3 \cdot (4)^{2} = 9\cdot 16 = 144.
Somando:
36 + 144 = 180.

Passo 4

Calcular o denominador em (3,4). Substituindo:
3x^{2}y^{2} - 2x^{3}y \Big|_{(3,4)} = 3\cdot (3)^{2}\cdot (4)^{2} - 2\cdot (3)^{3}\cdot 4.
Calculo cada parte:
3\cdot (3)^{2}\cdot (4)^{2} = 3\cdot 9\cdot 16 = 3\cdot 144 = 432,
2\cdot (3)^{3}\cdot 4 = 2\cdot 27\cdot 4 = 2\cdot 108 = 216.
Subtraindo:
432 - 216 = 216.

Passo 5

Verificação importante: o denominador em (3,4) é \;216, que é diferente de zero. Portanto a razão é bem definida em (3,4) e, pela continuidade do quociente (polinômios), o limite pode ser obtido por substituição direta:
\lim_{(x,y)\to(3,4)} \frac{x^{2}y + 3xy^{2}}{3x^{2}y^{2} - 2x^{3}y} = \frac{180}{216}.
Agora simplifico a fração. Dividindo numerador e denominador por 36:
\frac{180}{216} = \frac{180\div 36}{216\div 36} = \frac{5}{6}.

Passo 6

Conclusão final e dica de prova: o limite existe porque o denominador no ponto não é zero; resultado \frac{5}{6}. Sempre que cair numa questão assim na prova, primeiro calcule o denominador no ponto — se for zero aí é preciso investigar caminhos e usar outras ferramentas; se não for zero, substituição direta resolve.

Resposta

\dfrac{5}{6}

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