A função a avaliar é a razão entre dois polinômios em x e y.
O ponto de aproximação é (3,4).
A tarefa é determinar o valor do limite, caso exista.
Passo 2
Ideia que vou usar (explicada devagarinho): polinômios em x e y são funções contínuas — isto é, seus limites quando (x,y)\to(a,b) podem ser obtidos por substituição direta. A razão (quociente) de duas funções contínuas é contínua no ponto sempre que o denominador no ponto for diferente de zero. Portanto, se ao substituir (x,y)=(3,4) o denominador for distinto de zero, podemos obter o limite apenas substituindo os valores no numerador e no denominador.
Um exemplo rápido para fixar a ideia: \lim_{(x,y)\to(1,2)}(x+y)=1+2=3 porque x+y é contínua. Mesma ideia aqui, só que com uma razão — preciso verificar se o denominador não zera em (3,4).
Passo 3
Calcular o numerador em (3,4). Substituindo x=3 e y=4:
Verificação importante: o denominador em (3,4) é \;216, que é diferente de zero. Portanto a razão é bem definida em (3,4) e, pela continuidade do quociente (polinômios), o limite pode ser obtido por substituição direta:
Conclusão final e dica de prova: o limite existe porque o denominador no ponto não é zero; resultado \frac{5}{6}. Sempre que cair numa questão assim na prova, primeiro calcule o denominador no ponto — se for zero aí é preciso investigar caminhos e usar outras ferramentas; se não for zero, substituição direta resolve.