Como a substituição direta dá a forma indeterminada \dfrac{0}{0}, não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo — é preciso manipular a expressão.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador para ver se a indeterminação é removível. Note que 4x^{2}-y^{2} é uma diferença de quadrados; fatorando:
4x^{2}-y^{2}=(2x)^{2}-y^{2}=(2x-y)(2x+y).
Passo 4
Substituindo a fatoração na expressão original obtemos, para todo (x,y) tal que 2x+y\neq 0,
Portanto, em toda vizinhança do ponto (1,-2) exceto sobre a reta 2x+y=0 (onde a função original não está definida), a função coincide com a função polinomial g(x,y)=2x-y.
Passo 5
A função g(x,y)=2x-y é polinomial (linear) e, portanto, é contínua em todo lugar. Isso significa que, se em uma vizinhança de (1,-2) (exceto talvez no próprio ponto) a função original é igual a g, então o limite da função original quando (x,y)\to(1,-2) vale o mesmo que o limite de g naquele ponto. Logo