01-Calcule os limites a seguir, caso existam:
\lim _{(x, y) \longrightarrow(1,-2)} \frac{4 x^{2}-y^{2}}{2 x+y}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(1,-2)} \frac{4x^{2}-y^{2}}{2x+y}.
Informações dadas:
  • A função a ser analisada é f(x,y)=\dfrac{4x^{2}-y^{2}}{2x+y}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(1,-2).
  • É necessário verificar se o limite existe e, se existir, encontrar o valor numérico.

Passo 2

Primeiro vamos avaliar numerador e denominador no ponto para ver se a substituição direta funciona. Calcular:
4x^{2}-y^{2}\Big|_{(1,-2)}=4\cdot1^{2}-(-2)^{2}=4-4=0,
2x+y\Big|_{(1,-2)}=2\cdot1+(-2)=2-2=0.
Como a substituição direta dá a forma indeterminada \dfrac{0}{0}, não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo — é preciso manipular a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador para ver se a indeterminação é removível. Note que 4x^{2}-y^{2} é uma diferença de quadrados; fatorando:
4x^{2}-y^{2}=(2x)^{2}-y^{2}=(2x-y)(2x+y).

Passo 4

Substituindo a fatoração na expressão original obtemos, para todo (x,y) tal que 2x+y\neq 0,
\frac{4x^{2}-y^{2}}{2x+y}=\frac{(2x-y)(2x+y)}{2x+y}=2x-y.
Portanto, em toda vizinhança do ponto (1,-2) exceto sobre a reta 2x+y=0 (onde a função original não está definida), a função coincide com a função polinomial g(x,y)=2x-y.

Passo 5

A função g(x,y)=2x-y é polinomial (linear) e, portanto, é contínua em todo lugar. Isso significa que, se em uma vizinhança de (1,-2) (exceto talvez no próprio ponto) a função original é igual a g, então o limite da função original quando (x,y)\to(1,-2) vale o mesmo que o limite de g naquele ponto. Logo
\lim_{(x,y)\to(1,-2)} \frac{4x^{2}-y^{2}}{2x+y}=\lim_{(x,y)\to(1,-2)} (2x-y).
Agora basta calcular o valor de 2x-y em (1,-2):
2\cdot1-(-2)=2+2=4.
Portanto o limite existe e vale 4.

Resposta

4

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