04-Mostre que:
\lim _{(x, y) \longrightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}=0

Passo 1

O enunciado pede para avaliar o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}, definida para todo (x,y)\neq(0,0).
  • A pergunta explícita é se o limite quando (x,y) tende a (0,0) é igual a 0 (ou, de modo geral, qual é esse limite).

Passo 2

Entendendo o que significa limite em duas variáveis (intuição e ferramenta para provar):
  • Definição (intuitiva): \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L significa que, à medida que nos aproximamos de (0,0) por QUALQUER caminho, os valores de f(x,y) se aproximam do mesmo número L.
  • Consequência prática muito útil (teste de caminhos): se ao aproximar-se de (0,0) por dois caminhos diferentes os limites parciais forem diferentes, então o limite total NÃO existe. Isso porque a definição exige o mesmo valor para todos os caminhos.
    Vou usar esse teste de caminhos: basta encontrar dois caminhos que deem limites diferentes para concluir que o limite pedido não existe.

Passo 3

Calcular o limite ao longo do caminho y=0.
  • Se y=0 e x\neq 0, a expressão fica
\frac{x\cdot 0}{x^{2}+0^{2}}=0.
  • Portanto, aproximando (x,y) de (0,0) pelo eixo x (isto é, por pontos (x,0) com x\to 0),
\lim_{x\to 0} \frac{x\cdot 0}{x^{2}+0^{2}}=0.
Ou seja, o limite ao longo do caminho y=0 é 0.

Passo 4

Calcular o limite ao longo do caminho y=x.
  • Substituindo y=x (com x\neq 0) na função:
\frac{x\cdot x}{x^{2}+x^{2}}=\frac{x^{2}}{2x^{2}}=\frac{1}{2}.
  • Portanto, aproximando (x,y) de (0,0) pela reta y=x,
\lim_{x\to 0} \frac{x^{2}}{2x^{2}}=\frac{1}{2}.
Ou seja, o limite ao longo do caminho y=x é \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Conclusão a partir dos dois caminhos:
  • Pelo passo 3, o limite ao longo de y=0 é 0.
  • Pelo passo 4, o limite ao longo de y=x é \tfrac{1}{2}.
    Como esses dois valores são diferentes, não existe um único número L tal que todos os caminhos dêem L. Pelo critério de caminhos, isso implica que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}
não existe. Em particular, não pode ser 0.

Passo 6

Observação alternativa (intuição rápida com coordenadas polares):
  • Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r>0,
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r^{2}\cos\theta\sin\theta}{r^{2}}=\cos\theta\sin\theta.
  • Esse valor independe de r e depende de \theta. Ao fazer r\to 0 o valor fica \cos\theta\sin\theta, que varia com \theta (por exemplo \theta=0 0, \theta=\pi/4 \tfrac{1}{2}). Isso confirma que não há limite único quando (x,y)\to(0,0).

Resposta

O limite não existe.

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