04-Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para avaliar o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
, definida para todo . - A pergunta explícita é se o limite quando
tende a é igual a (ou, de modo geral, qual é esse limite).
Passo 2
Entendendo o que significa limite em duas variáveis (intuição e ferramenta para provar):
- Definição (intuitiva):
significa que, à medida que nos aproximamos de por QUALQUER caminho, os valores de se aproximam do mesmo número . - Consequência prática muito útil (teste de caminhos): se ao aproximar-se de
por dois caminhos diferentes os limites parciais forem diferentes, então o limite total NÃO existe. Isso porque a definição exige o mesmo valor para todos os caminhos.
Vou usar esse teste de caminhos: basta encontrar dois caminhos que deem limites diferentes para concluir que o limite pedido não existe.
Passo 3
Calcular o limite ao longo do caminho
.
- Se
e , a expressão fica
- Portanto, aproximando
de pelo eixo (isto é, por pontos com ),
Ou seja, o limite ao longo do caminho
é
.
Passo 4
Calcular o limite ao longo do caminho
.
- Substituindo
(com ) na função:
- Portanto, aproximando
de pela reta ,
Ou seja, o limite ao longo do caminho
é
.
Passo 5
Conclusão a partir dos dois caminhos:
- Pelo passo 3, o limite ao longo de
é . - Pelo passo 4, o limite ao longo de
é .
Como esses dois valores são diferentes, não existe um único númerotal que todos os caminhos dêem . Pelo critério de caminhos, isso implica que o limite
não existe. Em particular, não pode ser
.
Passo 6
Observação alternativa (intuição rápida com coordenadas polares):
- Em coordenadas polares
, com ,
- Esse valor independe de
e depende de . Ao fazer o valor fica , que varia com (por exemplo dá , dá ). Isso confirma que não há limite único quando .
Resposta
O limite não existe.