01-Calcule os limites a seguir, caso existam:
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o problema pede e as informações dadas. O enunciado pede o limite
Informações relevantes:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - Note que
; no ponto temos , então a substituição direta dá uma forma (indeterminada).
Passo 2
Explicar a forma indeterminada e a estratégia: quando temos
numa expressão racional, o caminho habitual é fatorar e simplificar, tentando eliminar o fator que causa o zero no denominador. Isso permite transformar a função em outra equivalente em uma vizinhança (exceto nos pontos onde o denominador original é zero), e aí usar continuidade ou substituição direta para obter o limite.
Passo 3
Fatorar o numerador usando a identidade diferença de quadrados. Lembre que para quaisquer
e
Aplicando com
e
:
Passo 4
Escrever a função usando a fatoração e simplificar onde for permitido:
Se
(isto é, fora da reta
), podemos cancelar o fator
e obter
Observação importante: a igualdade acima vale para todos os pontos onde
. No ponto
o fator
é zero, então a expressão original não está definida exatamente aí, mas para avaliar o limite consideramos pontos próximos onde
, e nesses pontos a expressão coincide com
.
Passo 5
Justificar por que podemos passar a calcular o limite da função simplificada: a função
é uma função linear (polinomial) e, portanto, contínua em todo
. Se duas funções coincidem em uma vizinhança puncturada do ponto de interesse (isto é, coincidem em todos os pontos suficientemente próximos, exceto possivelmente o próprio ponto), os limites quando
se aproxima do ponto são os mesmos. Aqui a função original coincide com
em todos os pontos próximos a
com
, daí
Passo 6
Calcular o limite da função simplificada por substituição (continuidade). Como a expressão
é contínua, basta substituir
e
:
Passo 7
Breve verificação de consistência (tranquilizadora): mesmo que exista a reta
passando pelo ponto, os pontos dessa reta (com
exatamente) não fazem parte do domínio da função original, então não entram na verificação do limite. Existem, porém, pontos do domínio arbitrariamente próximos a
(por exemplo,
com
pequeno) e para todos esses a avaliação dá valores que tendem a
. Isso confirma que o limite existe e vale
.
Resposta
-3