01-Calcule os limites a seguir, caso existam:
\lim _{(x, y) \longrightarrow(-2,2)} \frac{3 x^{2}-3 y^{2}}{4 x+4 y}

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o problema pede e as informações dadas. O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(-2,2)} \frac{3x^{2}-3y^{2}}{4x+4y}.
Informações relevantes:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{3x^{2}-3y^{2}}{4x+4y}.
  • O ponto de interesse é (-2,2).
  • Note que 4x+4y=4(x+y); no ponto (-2,2) temos x+y=-2+2=0, então a substituição direta dá uma forma 0/0 (indeterminada).

Passo 2

Explicar a forma indeterminada e a estratégia: quando temos 0/0 numa expressão racional, o caminho habitual é fatorar e simplificar, tentando eliminar o fator que causa o zero no denominador. Isso permite transformar a função em outra equivalente em uma vizinhança (exceto nos pontos onde o denominador original é zero), e aí usar continuidade ou substituição direta para obter o limite.

Passo 3

Fatorar o numerador usando a identidade diferença de quadrados. Lembre que para quaisquer a e b
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=y:
3x^{2}-3y^{2}=3(x^{2}-y^{2})=3(x-y)(x+y).

Passo 4

Escrever a função usando a fatoração e simplificar onde for permitido:
\frac{3x^{2}-3y^{2}}{4x+4y}=\frac{3(x-y)(x+y)}{4(x+y)}.
Se x+y\neq 0 (isto é, fora da reta x+y=0), podemos cancelar o fator x+y e obter
\frac{3x^{2}-3y^{2}}{4x+4y}=\frac{3}{4}(x-y).
Observação importante: a igualdade acima vale para todos os pontos onde x+y\neq 0. No ponto (-2,2) o fator x+y é zero, então a expressão original não está definida exatamente aí, mas para avaliar o limite consideramos pontos próximos onde x+y\neq 0, e nesses pontos a expressão coincide com \dfrac{3}{4}(x-y).

Passo 5

Justificar por que podemos passar a calcular o limite da função simplificada: a função (x,y)\mapsto \dfrac{3}{4}(x-y) é uma função linear (polinomial) e, portanto, contínua em todo \mathbb{R}^{2}. Se duas funções coincidem em uma vizinhança puncturada do ponto de interesse (isto é, coincidem em todos os pontos suficientemente próximos, exceto possivelmente o próprio ponto), os limites quando (x,y) se aproxima do ponto são os mesmos. Aqui a função original coincide com \dfrac{3}{4}(x-y) em todos os pontos próximos a (-2,2) com x+y\neq0, daí
\lim_{(x,y)\to(-2,2)} \frac{3x^{2}-3y^{2}}{4x+4y} = \lim_{(x,y)\to(-2,2)} \frac{3}{4}(x-y).

Passo 6

Calcular o limite da função simplificada por substituição (continuidade). Como a expressão \dfrac{3}{4}(x-y) é contínua, basta substituir x=-2 e y=2:
\lim_{(x,y)\to(-2,2)} \frac{3}{4}(x-y)=\frac{3}{4}\bigl((-2)-2\bigr)=\frac{3}{4}\cdot(-4)=-3.

Passo 7

Breve verificação de consistência (tranquilizadora): mesmo que exista a reta x+y=0 passando pelo ponto, os pontos dessa reta (com x+y=0 exatamente) não fazem parte do domínio da função original, então não entram na verificação do limite. Existem, porém, pontos do domínio arbitrariamente próximos a (-2,2) (por exemplo, ( -2+t,\,2) com t\neq0 pequeno) e para todos esses a avaliação dá valores que tendem a -3. Isso confirma que o limite existe e vale -3.

Resposta

-3

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