01(5,0) - Considere uma onda eletromagnética plana que se propaga num cristal de Ge dada pelas expressões \mathrm{E}_{\mathrm{x}}=0, \mathrm{E}_{\mathrm{y}}=\pi^{2} \cdot \cos \left[\pi \cdot(\mathrm{t}-\mathrm{x} / 0,25 \mathrm{c}) \cdot 10^{15}+3 \pi / 2\right] \mathrm{V} / \mathrm{cm}, \mathrm{E}_{\mathrm{z}}=0.
(d) Sabemos que a irradiância (intensidade) \mathrm{I} \sim\left\langle\mathrm{E}^{2}\right\rangle, assim, calcule o valor médio de I pra essa onda EM.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico da onda no cristal (peguei tudo do enunciado):
E_x=0,\qquad E_y=\pi^{2}\cdot\cos\!\big[\pi\cdot\big(t-\frac{x}{0,25\,c}\big)\cdot 10^{15}+\tfrac{3\pi}{2}\big]\\ \mathrm{V/cm},\qquad E_z=0.
O que se pede: calcular o valor médio da irradiância I, sabendo que I\sim\langle E^{2}\rangle. Ou seja, precisamos calcular a média temporal de E^{2}(t,x) (a média que entra na proportionalidade com a intensidade).

Passo 2

Identificar a amplitude e a fase da oscilação. Escrevendo de forma padrão:
E_y(t,x)=E_0\cos\big(\theta(t,x)\big),
onde
E_0=\pi^{2}\\ \mathrm{V/cm}, \qquad \theta(t,x)=\pi\cdot\big(t-\frac{x}{0,25\,c}\big)\cdot 10^{15}+\tfrac{3\pi}{2}.
Então a amplitude (o valor máximo absoluto do campo) é E_0=\pi^{2}\\ \mathrm{V/cm}.

Passo 3

Escrever o quadrado do campo elétrico:
E^{2}(t,x)=E_y^{2}(t,x)=E_0^{2}\cos^{2}\big(\theta(t,x)\big).
Substituindo E_0^{2} temos
E^{2}(t,x)=\pi^{4}\cos^{2}\big(\theta(t,x)\big)\\ \mathrm{V^{2}/cm^{2}}.

Passo 4

Calcular a média temporal \langle E^{2}\rangle. A média temporal em uma oscilação de uma função periódica f(t) é
\langle f\rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)\,dt,
onde T é o período. Usamos a identidade trigonométrica
\cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos(2\alpha)}{2}.
Aplicando a média ao \cos^{2}:
\big\langle\cos^{2}\big(\theta(t,x)\big)\big\rangle =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\langle\cos(2\theta(t,x))\rangle.
Mas \cos(2\theta) é uma função periódica de média zero sobre um período inteiro, portanto \langle\cos(2\theta)\rangle=0. Assim
\big\langle\cos^{2}\big(\theta(t,x)\big)\big\rangle=\frac{1}{2}.

Passo 5

Combinar o resultado anterior com o E^{2} do Passo 3:
\langle E^{2}\rangle = \pi^{4}\cdot\big\langle\cos^{2}(\theta)\big\rangle = \pi^{4}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\pi^{4}}{2}\\ \mathrm{V^{2}/cm^{2}}.
Observação didática: isso é independente de t e x porque a média temporal elimina a dependência da fase; na prática a irradiância média é proporcional a esse valor constante.

Passo 6

Dar o valor numérico aproximado. Calculando numericamente:
\frac{\pi^{4}}{2}\approx 48,704545\ldots
Arredondando razoavelmente,
\langle E^{2}\rangle \approx 48,70\\ \mathrm{V^{2}/cm^{2}}.
Comentário extra (útil na prova): se fosse necessário o valor absoluto da intensidade em unidades de potência por área, para uma onda em vácuo usa-se I=\tfrac{1}{2}\varepsilon_{0} c E_0^{2} (ou em um meio substitui-se por \varepsilon c apropriado). Aqui o enunciado pediu apenas a média proporcional a \langle E^{2}\rangle.

Resposta

\langle E^{2}\rangle=\dfrac{\pi^{4}}{2}\\ \mathrm{V^{2}/cm^{2}}\approx 48,70\\ \mathrm{V^{2}/cm^{2}}

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