Use o Método de Variação de Parâmetro para resolver a EDO: y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=(x+1) \cdot e^{2 x}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária não homogênea de segunda ordem
y'' - 4y' + 4y = (x+1)e^{2x}.
Informações dadas:
\text{Equação: }y'' - 4y' + 4y = (x+1)e^{2x}.
A solução que queremos é a solução geral y(x) (não foram dadas condições iniciais). Vou trabalhar com as soluções da homogênea e construir uma solução particular para a forçante (x+1)e^{2x}.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y'' - 4y' + 4y = 0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
É uma raiz dupla r=2. Quando uma raiz r tem multiplicidade 2, as duas soluções independentes da homogênea são
y_1(x)=e^{2x},\qquad y_2(x)=x e^{2x}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_c(x) = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora vamos aplicar o Método de Variação de Parâmetros para obter uma solução particular y_p. A ideia é procurar
y_p(x) = u_1(x)\,y_1(x) + u_2(x)\,y_2(x),
onde y_1,y_2 são as soluções da homogênea (aqui y_1=e^{2x} e y_2=xe^{2x}) e u_1,u_2 são funções a determinar. Para fixar u_1,u_2 impomos a condição auxiliar
u_1'(x)\,y_1(x) + u_2'(x)\,y_2(x) = 0,
que simplifica os cálculos e é parte padrão do método.
Passo 4
As fórmulas práticas do método (para a equação na forma y''+P(x)y'+Q(x)y = R(x)) dão:
Integramos para obter u_1,u_2. Para a solução particular podemos escolher constantes de integração iguais a zero (elas seriam incorporadas na solução homogênea).
Integrando u_1':