Use o Método de Variação de Parâmetro para resolver a EDO:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=(x+1) \cdot e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária não homogênea de segunda ordem
y'' - 4y' + 4y = (x+1)e^{2x}.
Informações dadas:
\text{Equação: }y'' - 4y' + 4y = (x+1)e^{2x}.çã
A solução que queremos é a solução geral y(x) (não foram dadas condições iniciais). Vou trabalhar com as soluções da homogênea e construir uma solução particular para a forçante (x+1)e^{2x}.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y'' - 4y' + 4y = 0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2 - 4r + 4 = 0.
Resolvendo:
r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot1\cdot4}}{2} = \frac{4 \pm 0}{2} = 2.
É uma raiz dupla r=2. Quando uma raiz r tem multiplicidade 2, as duas soluções independentes da homogênea são
y_1(x)=e^{2x},\qquad y_2(x)=x e^{2x}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_c(x) = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora vamos aplicar o Método de Variação de Parâmetros para obter uma solução particular y_p. A ideia é procurar
y_p(x) = u_1(x)\,y_1(x) + u_2(x)\,y_2(x),
onde y_1,y_2 são as soluções da homogênea (aqui y_1=e^{2x} e y_2=xe^{2x}) e u_1,u_2 são funções a determinar. Para fixar u_1,u_2 impomos a condição auxiliar
u_1'(x)\,y_1(x) + u_2'(x)\,y_2(x) = 0,
que simplifica os cálculos e é parte padrão do método.

Passo 4

As fórmulas práticas do método (para a equação na forma y''+P(x)y'+Q(x)y = R(x)) dão:
u_1'(x) = -\frac{R(x)\,y_2(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x)=\frac{R(x)\,y_1(x)}{W(x)},
onde W(x) é o Wronskiano de y_1,y_2:
W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\[4pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1 y_2' - y_1' y_2.
No nosso caso R(x)=(x+1)e^{2x}. Vamos calcular explicitamente W(x).]

Passo 5

Calculemos as derivadas:
y_1(x)=e^{2x}\quad\Rightarrow\quad y_1'(x)=2e^{2x},
y_2(x)=x e^{2x}\quad\Rightarrow\quad y_2'(x)= e^{2x} + 2x e^{2x} = e^{2x}(1+2x).
Agora o Wronskiano:
W(x)=y_1 y_2' - y_1' y_2 = e^{2x}\cdot e^{2x}(1+2x) - 2e^{2x}\cdot x e^{2x}.
Fatorando e^{4x}:
W(x)=e^{4x}\bigl((1+2x)-2x\bigr) = e^{4x}\cdot 1 = e^{4x}.
Observação: W(x)\neq 0 para todo x, então y_1,y_2 são linearmente independentes e as fórmulas valem.

Passo 6

Aplicamos as fórmulas para u_1' e u_2'. Lembrando R(x)=(x+1)e^{2x}, y_1=e^{2x}, y_2=xe^{2x} e W=e^{4x}:
u_1'(x) = -\frac{R(x)\,y_2(x)}{W(x)} = -\frac{(x+1)e^{2x}\cdot x e^{2x}}{e^{4x}} = -x(x+1).
u_2'(x) = \frac{R(x)\,y_1(x)}{W(x)} = \frac{(x+1)e^{2x}\cdot e^{2x}}{e^{4x}} = x+1.

Passo 7

Integramos para obter u_1,u_2. Para a solução particular podemos escolher constantes de integração iguais a zero (elas seriam incorporadas na solução homogênea).
Integrando u_1':
u_1(x) = \int -x(x+1)\,dx = \int ( -x^2 - x)\,dx = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}.
Integrando u_2':
u_2(x) = \int (x+1)\,dx = \frac{x^2}{2} + x.

Passo 8

Agora montamos y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2. Substituindo:
y_p(x) =\biggl(-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}\biggr)e^{2x} + \biggl(\frac{x^2}{2} + x\biggr)\cdot x e^{2x}.
Calculemos termo a termo. O segundo produto:
\biggl(\frac{x^2}{2} + x\biggr)\cdot x = \frac{x^3}{2} + x^2.
Somando com o primeiro (fatorando e^{2x}):
y_p(x) = e^{2x}\left(-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2} + x^2\right).
Combine coeficientes de x^3 e x^2:
-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6},
-\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.
Portanto
y_p(x) = e^{2x}\left(\frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2}\right).

Passo 9

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução da homogênea com uma solução particular:
y(x) = y_c(x) + y_p(x).
Substituindo:
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x} + e^{2x}\left(\frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2}\right).
Fatorando e^{2x} se desejar:
y(x)=e^{2x}\left(C_1 + C_2 x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2}\right).

Resposta

y(x)=C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x} + e^{2x}\left(\frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2}\right)

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