[01] (1,0) Determinar a solução geral das EDO Lineares de 2^a Ordem a Coeficientes Constantes NãoHomogêneas.
(i) d^2 yd x^2+4 d yd x+8 y=e^2 x+x^2+16

Passo 1

Estamos diante da equação diferencial não homogênea de segunda ordem a coeficientes constantes
d^2ydx^2+4dydx+8y = e^2x + x^2 + 16
O método consiste em achar a solução geral da homogênea (via equação característica) e depois uma solução particular por superposição (parte exponencial e parte polinomial).

Passo 2

A equação homogênea associada é
d^2ydx^2+4dydx+8y = 0
cuja equação característica é
r^2 + 4r + 8 = 0
As raízes são
r = -4 pm raiz16 - 322 = -2 pm 2i
Logo a solução homogênea é
yh(x) = e^-2xl(C1cos(2x)+C2sin(2x)r)

Passo 3

Para a parte e^2x tentamos
yp1(x) = A e^2x,
pois r=2 não anula a característica. Calculamos
y'p1 = 2A e^2x, y''p1=4A e^2x,
então
L[yp1] = y''p1 + 4y'p1 + 8yp1 = (4A + 8A + 8A)e^2x = 20A e^2x
Igualando a e^2x
20A = 1implies A = 120,
ou seja
yp1(x) = 120,e^2x

Passo 4

Para a parte polinomial x^2+16 usamos
yp2(x) = a x^2 + b x + c
Então
y'p2 = 2a x + b, y''p2=2a,
e
L[yp2] = 2a + 4(2a x + b) + 8(ax^2+bx+c) = 8a,x^2 + (8a+8b)x + (2a+4b+8c)
Isso deve ser igual a x^2 + 16, gerando o sistema
8a = 1, 8a+8b=0, 2a+4b+8c=16
Resolvendo encontramos
a=tfrac18, b=-tfrac18, c=tfrac6532,
portanto
yp2(x) = 18x^2 - 18x + 6532

Passo 5

Pela superposição, a solução particular completa é
yp(x) = yp1(x) + yp2(x) = 120e^2x + 18x^2 - 18x + 6532

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma das partes homogênea e particular, ou seja
y(x) = yh(x) + yp(x) = e^-2xl(C1cos(2x)+C2sin(2x)r) + 120e^2x + 18x^2 - 18x + 6532

Resposta

y(x) = e^-2xl(C1cos(2x)+C2sin(2x)r) + 120e^2x + 18x^2 - 18x + 6532

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