Questão 8. Encontre uma equação da reta tangente à curva sen (x+y)=y^2 cos x no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado define uma curva implícita por
sin(x+y)=y^2cos x
e pede a reta tangente no ponto (0,0).
O conteúdo envolvido é diferenciação implícita, usando regra da cadeia e produto, para obter dfracdydx e depois achar a equação da reta.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
No lado esquerdo, pela regra da cadeia,
ddxl[sin(x+y)r] =cos(x+y),ddx(x+y) =cos(x+y),l(1+y'r)
No lado direito, aplicamos produto a y^2cos x:
ddxl[y^2cos xr] =2y,y'cos x + y^2(-sin x)
Logo a igualdade das derivadas é
cos(x+y),l(1+y'r) =2y,y'cos x - y^2sin x

Passo 3

Isolando y', expandimos e agrupamos termos:
cos(x+y) + y'cos(x+y) =2y,y'cos x - y^2sin x
y'cos(x+y) -2y,y'cos x =-cos(x+y) - y^2sin x
y',l[cos(x+y)-2ycos xr] =-cos(x+y)-y^2sin x
Portanto,
y' =-cos(x+y)-y^2sin xcos(x+y)-2ycos x

Passo 4

Avaliaremos y' em (x,y)=(0,0). Note que
cos(x+y)=cos0=1, cos x=1 e sin x=0. Assim
y'l|(0,0) =-1 - 01 - 0 =-1

Passo 5

A reta tangente em (0,0) tem coeficiente angular m=-1. Usando a forma-ponto,
y-0 = -1,(x-0)
ou seja
y=-x

Resposta

A equação da reta tangente é
y=-x

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