Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime-3 y^prime-4 y=0 , y(0)=1, y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 3y' - 4y = 0, y(0)=1, y'(0)=0
Trata-se de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o polinômio característico para encontrar a solução geral.

Passo 2

Formamos o polinômio característico trocando ymapsto e^rx:
r^2 - 3r - 4 = 0
Resolvendo essa equação quadrática para r.

Passo 3

As raízes são
r = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm 52,
isto é,
r1 = 4, r2 = -1
Como são duas raízes distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^4x + C2 e^-x

Passo 4

Calculamos a derivada para impor as condições iniciais:
y'(x) = 4C1 e^4x - C2 e^-x
Em x=0 temos
y(0)=C1 + C2 = 1,
y'(0)=4C1 - C2 = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 1, 4C1 - C2 = 0,
somando as duas equações obtém-se 5C1=1, logo C1=tfrac15, e daí C2=1-tfrac15=tfrac45.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = 15e^4x + 45e^-x

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