Q. 01 Determine cada limite:
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável
tende a (pelos dois lados). - Aparece a expressão
, onde a base e o expoente é . - Não há valores explícitos adicionais; devemos avaliar o comportamento da fração quando
.
Passo 2
Analisar o comportamento de
quando
.
- Para
, tem-se . - Quando
, e portanto .
Logo o expoente emtende a .
Passo 3
Deduções sobre
.
- Como a base
e o expoente tende a , segue que
- Em particular, para
suficientemente próximo de (e ) tem-se , então o denominador é positivo e não se anula.
Passo 4
Manipulação algébrica para deixar claro o limite.
Divido numerador e denominador por (que é positivo quando
):
Divido numerador e denominador por
Aqui usei que
.
Passo 5
Avaliar o comportamento de
quando
.
- Como
, tem-se . - Portanto, na expressão obtida,
os termos
tendem a
.
Passo 6
Aplicar o limite na forma simplificada.
Usando que , pela continuidade das operações algébricas:
Usando que
Passo 7
Comentário rápido de verificação (dica para a prova):
- Método padrão: identificar o termo dominante (aqui
), dividir por ele e usar que sua recíproca tende a zero. - Exemplo análogo e mais simples:
, que é a mesma ideia.