Q. 01 Determine cada limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{1 / x^{2}}+1}{2^{1 / x^{2}}-1},

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{2^{1/x^{2}}+1}{2^{1/x^{2}}-1}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável x tende a 0 (pelos dois lados).
  • Aparece a expressão 2^{1/x^{2}}, onde a base 2>1 e o expoente é 1/x^{2}.
  • Não há valores explícitos adicionais; devemos avaliar o comportamento da fração quando x\to 0.

Passo 2

Analisar o comportamento de 1/x^{2} quando x\to 0.
  • Para x\neq 0, tem-se x^{2}>0.
  • Quando x\to 0, x^{2}\to 0^{+} e portanto \dfrac{1}{x^{2}}\to +\infty.
    Logo o expoente em 2^{1/x^{2}} tende a +\infty.

Passo 3

Deduções sobre 2^{1/x^{2}}.
  • Como a base 2>1 e o expoente tende a +\infty, segue que
2^{1/x^{2}}\to +\infty\quad\text{quando }x\to 0.
  • Em particular, para x suficientemente próximo de 0 (e x\neq0) tem-se 2^{1/x^{2}}>1, então o denominador 2^{1/x^{2}}-1 é positivo e não se anula.

Passo 4

Manipulação algébrica para deixar claro o limite.
Divido numerador e denominador por 2^{1/x^{2}} (que é positivo quando x\neq0):
\frac{2^{1/x^{2}}+1}{2^{1/x^{2}}-1} = \frac{1 + 2^{-1/x^{2}}}{1 - 2^{-1/x^{2}}}.
Aqui usei que 2^{-1/x^{2}}=\dfrac{1}{2^{1/x^{2}}}.

Passo 5

Avaliar o comportamento de 2^{-1/x^{2}} quando x\to 0.
  • Como 2^{1/x^{2}}\to+\infty, tem-se 2^{-1/x^{2}} \to 0.
  • Portanto, na expressão obtida,
\frac{1 + 2^{-1/x^{2}}}{1 - 2^{-1/x^{2}}}
os termos 2^{-1/x^{2}} tendem a 0.

Passo 6

Aplicar o limite na forma simplificada.
Usando que 2^{-1/x^{2}}\to 0, pela continuidade das operações algébricas:
\lim_{x\to 0}\frac{1 + 2^{-1/x^{2}}}{1 - 2^{-1/x^{2}}} = \frac{1+0}{1-0}=1.

Passo 7

Comentário rápido de verificação (dica para a prova):
  • Método padrão: identificar o termo dominante (aqui 2^{1/x^{2}}), dividir por ele e usar que sua recíproca tende a zero.
  • Exemplo análogo e mais simples: \lim_{t\to\infty}\dfrac{t+1}{t-1}=1, que é a mesma ideia.

Resposta

1

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