Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5-x^{3}}{8 x+2},

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{5-x^{3}}{8x+2}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio \,5-x^{3}\, (grau 3).
  • O denominador é o polinômio \,8x+2\, (grau 1).
    O que se pede: calcular o limite quando x tende para +\infty ou justificar por que o limite não existe (no sentido finito).

Passo 2

Ideia intuitiva (domínio dos termos de maior grau). Para x muito grande, os termos de maior potência dominam o comportamento dos polinômios. No numerador o termo dominante é -x^{3} (coeficiente líder -1); no denominador o termo dominante é 8x (coeficiente líder 8). Assim, para x grande espera-se que a fração se comporte como
\frac{-x^{3}}{8x}=-\frac{1}{8}x^{2}.
Como \,x^{2}\to+\infty quando x\to+\infty e há um sinal negativo na frente, isso sugere que a expressão tende a -\infty. Vou agora fazer um cálculo mais rígido.

Passo 3

Rigor: dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente (que é x^{3}). Escrevendo
\frac{5-x^{3}}{8x+2} = \frac{\dfrac{5}{x^{3}}-1}{\dfrac{8}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}}.
Agora fazemos o limite termo a termo. Para x\to\infty valem
\frac{5}{x^{3}}\to 0,\qquad \frac{8}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{2}{x^{3}}\to 0.
Portanto o numerador da fração reduzida tende a -1 e o denominador tende a 0. Mais precisamente, para x>0 suficientemente grande o denominador \dfrac{8}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}} é positivo e tende a 0^{+}. Assim o quociente tende a
\frac{-1}{0^{+}} = -\infty.
Isso confirma de forma rigorosa que o limite diverge para -\infty.

Passo 4

Regra geral e interpretação (resumindo para a prova). Para uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} com \deg P=n e \deg Q=m:
  • Se n<m, o limite em +\infty é 0.
  • Se n=m, o limite em +\infty é a razão dos coeficientes líderes.
  • Se n>m, o limite em +\infty é +\infty ou -\infty, dependendo do sinal do termo líder combinado.
    No nosso caso n=3>m=1; o termo líder efetivo é (\,-1\,)x^{3} no numerador e 8x no denominador, levando ao comportamento -\tfrac{1}{8}x^{2}\to -\infty. Portanto o limite diverge para menos infinito.

Passo 5

Observação final e ânimo: o raciocínio por grau dos polinômios é normalmente o jeito mais rápido na prova; dividir pela maior potência confirma o resultado de forma limpa. Tu já tem a resposta e a técnica — manda ver nos próximos exercícios, tá indo bem!

Resposta

-\infty

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