Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
,
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
(grau ). - O denominador é o polinômio
(grau ).
O que se pede: calcular o limite quandotende para ou justificar por que o limite não existe (no sentido finito).
Passo 2
Ideia intuitiva (domínio dos termos de maior grau). Para
muito grande, os termos de maior potência dominam o comportamento dos polinômios. No numerador o termo dominante é
(coeficiente líder
); no denominador o termo dominante é
(coeficiente líder
). Assim, para
grande espera-se que a fração se comporte como
Como
quando
e há um sinal negativo na frente, isso sugere que a expressão tende a
. Vou agora fazer um cálculo mais rígido.
Passo 3
Rigor: dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (que é
). Escrevendo
Agora fazemos o limite termo a termo. Para
valem
Portanto o numerador da fração reduzida tende a
e o denominador tende a
. Mais precisamente, para
suficientemente grande o denominador
é positivo e tende a
. Assim o quociente tende a
Isso confirma de forma rigorosa que o limite diverge para
.
Passo 4
Regra geral e interpretação (resumindo para a prova). Para uma função racional
com
e
:
- Se
, o limite em é . - Se
, o limite em é a razão dos coeficientes líderes. - Se
, o limite em é ou , dependendo do sinal do termo líder combinado.
No nosso caso; o termo líder efetivo é no numerador e no denominador, levando ao comportamento . Portanto o limite diverge para menos infinito.
Passo 5
Observação final e ânimo: o raciocínio por grau dos polinômios é normalmente o jeito mais rápido na prova; dividir pela maior potência confirma o resultado de forma limpa. Tu já tem a resposta e a técnica — manda ver nos próximos exercícios, tá indo bem!