Q. 05 Suponha que
e
existem. Prove que
Passo 1
O enunciado dá que existem os três limites
,
e
.
O que se pede: provar que o limite da soma é a soma dos limites; em palavras, mostrar que o limite, quando , da função
existe e coincide com a soma dos limites individuais.
O que se pede: provar que o limite da soma é a soma dos limites; em palavras, mostrar que o limite, quando
Informações relevantes fornecidas:
- Existem limites finitos (ou seja, cada um converge) em
: -
existe; -
existe; -
existe.
-
- Não foram dados valores numéricos desses limites nem nenhuma hipótese extra (continuidade, etc.). Só se usa a definição de limite.
Passo 2
Lembrete da definição de limite (essencial para a prova): dizer que
significa exatamente:
para todo existe
tal que, sempre que
, vale
.
para todo
Expliquei isso porque a prova será no estilo
-
: dado um
arbitrário para a soma, vamos construir um
que funciona para a função soma.
Passo 3
Denotemos os limites dos três termos por letras fáceis:
Como cada limite existe, pelas definições acima temos, para cada função separadamente, a propriedade
-
.
Passo 4
Aplicando a definição separadamente: tome um
arbitrário (este é o
que queremos satisfazer para a soma).
- Pela existência de
, existe tal que, se , então
. - Pela existência de
, existe tal que, se , então
. - Pela existência de
, existe tal que, se , então
.
Comentário didático: escolhi
para cada função porque, somando três quantidades menores que
, vou obter algo menor que
. Essa é a clássica "técnica
" para somas de
termos.
Passo 5
Defina
Então, sempre que
os três resultados acima valem simultaneamente; ou seja, para esse
tem-se
Explicação curta: usar o mínimo garante que a condição de cada
é satisfeita.
Passo 6
Agora usamos a desigualdade triangular para controlar a diferença entre a soma das funções e a soma dos limites.
A desigualdade triangular para três termos diz que, para quaisquer números reais (ou complexos)
,
(Justificativa rápida:
.)
Aplicando com
,
,
, obtemos
Passo 7
Usando as desigualdades obtidas no Passo 5, quando
temos
Portanto, para esse mesmo
,
Passo 8
Conclusão lógica da prova: mostramos que, dado qualquer
, existe
(especificamente
) tal que, sempre que
, a diferença entre
e
é menor que
. Pela definição de limite, isso prova que o limite da soma existe e é igual à soma dos limites individuais.
Passo 9
Exemplo rápido para fixar a ideia: se
,
,
e
, então
,
,
. Pela prova acima,
existe e vale
. Na prova teríamos escolhido
para cada função e seguido os mesmos passos.
Dica de prova na prova: sempre que tiver soma de
funções use a técnica
e a desigualdade triangular. Respire fundo — é mecânico depois de treinar uma vez.