Q. 05 Suponha que \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x), \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) e \lim _{x \rightarrow x_{0}} h(x) existem. Prove que
\lim _{x \rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)+h(x)]=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)+\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)+\lim _{x \rightarrow x_{0}} h(x) .

Passo 1

O enunciado dá que existem os três limites
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x), \displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x) e \displaystyle \lim_{x\to x_0} h(x).
O que se pede: provar que o limite da soma é a soma dos limites; em palavras, mostrar que o limite, quando x\to x_0, da função f+g+h existe e coincide com a soma dos limites individuais.
Informações relevantes fornecidas:
  • Existem limites finitos (ou seja, cada um converge) em x_0:
    • \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) existe;
    • \displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x) existe;
    • \displaystyle \lim_{x\to x_0} h(x) existe.
  • Não foram dados valores numéricos desses limites nem nenhuma hipótese extra (continuidade, etc.). Só se usa a definição de limite.

Passo 2

Lembrete da definição de limite (essencial para a prova): dizer que \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=L significa exatamente:
para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-x_0|<\delta, vale |f(x)-L|<\varepsilon.
Expliquei isso porque a prova será no estilo \varepsilon- \delta: dado um \varepsilon>0 arbitrário para a soma, vamos construir um \delta>0 que funciona para a função soma.

Passo 3

Denotemos os limites dos três termos por letras fáceis:
L_f := \lim_{x\to x_0} f(x),\qquad L_g := \lim_{x\to x_0} g(x),\qquad L_h := \lim_{x\to x_0} h(x).
Como cada limite existe, pelas definições acima temos, para cada função separadamente, a propriedade \varepsilon- \delta.

Passo 4

Aplicando a definição separadamente: tome um \varepsilon>0 arbitrário (este é o \varepsilon que queremos satisfazer para a soma).
  • Pela existência de \lim_{x\to x_0} f(x)=L_f, existe \delta_f>0 tal que, se 0<|x-x_0|<\delta_f, então
    |f(x)-L_f|<\dfrac{\varepsilon}{3}.
  • Pela existência de \lim_{x\to x_0} g(x)=L_g, existe \delta_g>0 tal que, se 0<|x-x_0|<\delta_g, então
    |g(x)-L_g|<\dfrac{\varepsilon}{3}.
  • Pela existência de \lim_{x\to x_0} h(x)=L_h, existe \delta_h>0 tal que, se 0<|x-x_0|<\delta_h, então
    |h(x)-L_h|<\dfrac{\varepsilon}{3}.
Comentário didático: escolhi \dfrac{\varepsilon}{3} para cada função porque, somando três quantidades menores que \dfrac{\varepsilon}{3}, vou obter algo menor que \varepsilon. Essa é a clássica "técnica \varepsilon/n" para somas de n termos.

Passo 5

Defina
\delta := \min\{\delta_f,\;\delta_g,\;\delta_h\}.
Então, sempre que 0<|x-x_0|<\delta os três resultados acima valem simultaneamente; ou seja, para esse x tem-se
|f(x)-L_f|<\dfrac{\varepsilon}{3},\quad |g(x)-L_g|<\dfrac{\varepsilon}{3},\quad |h(x)-L_h|<\dfrac{\varepsilon}{3}.
Explicação curta: usar o mínimo garante que a condição de cada \delta_i é satisfeita.

Passo 6

Agora usamos a desigualdade triangular para controlar a diferença entre a soma das funções e a soma dos limites.
A desigualdade triangular para três termos diz que, para quaisquer números reais (ou complexos) a,b,c,
|a+b+c|\le |a|+|b|+|c|.
(Justificativa rápida: |a+b+c|=|(a+b)+c|\le|a+b|+|c|\le|a|+|b|+|c|.)
Aplicando com a=f(x)-L_f, b=g(x)-L_g, c=h(x)-L_h, obtemos
\left|\,\bigl(f(x)+g(x)+h(x)\bigr)-\bigl(L_f+L_g+L_h\bigr)\right| \le |f(x)-L_f|+|g(x)-L_g|+|h(x)-L_h|.

Passo 7

Usando as desigualdades obtidas no Passo 5, quando 0<|x-x_0|<\delta temos
|f(x)-L_f|+|g(x)-L_g|+|h(x)-L_h|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon.
Portanto, para esse mesmo x,
\left|\,\bigl(f(x)+g(x)+h(x)\bigr)-\bigl(L_f+L_g+L_h\bigr)\right|<\varepsilon.

Passo 8

Conclusão lógica da prova: mostramos que, dado qualquer \varepsilon>0, existe \delta>0 (especificamente \delta=\min\{\delta_f,\delta_g,\delta_h\}) tal que, sempre que 0<|x-x_0|<\delta, a diferença entre f(x)+g(x)+h(x) e L_f+L_g+L_h é menor que \varepsilon. Pela definição de limite, isso prova que o limite da soma existe e é igual à soma dos limites individuais.

Passo 9

Exemplo rápido para fixar a ideia: se f(x)=x, g(x)=2x, h(x)=3x e x_0=1, então
\lim_{x\to1} f(x)=1, \lim_{x\to1} g(x)=2, \lim_{x\to1} h(x)=3. Pela prova acima, \lim_{x\to1} (f+g+h)(x) existe e vale 1+2+3=6. Na prova teríamos escolhido \varepsilon/3 para cada função e seguido os mesmos passos.
Dica de prova na prova: sempre que tiver soma de n funções use a técnica \varepsilon/n e a desigualdade triangular. Respire fundo — é mecânico depois de treinar uma vez.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)+h(x)]=\lim_{x\to x_0} f(x)+\lim_{x\to x_0} g(x)+\lim_{x\to x_0} h(x)

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