Q. 03 Calcule os limites aplicando os limites fundamentais. \lim _{v \rightarrow \pi} \frac{1+\cos v}{(\pi-v)^{2}},
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
Pede-se o limite \displaystyle \lim_{v\to\pi}\frac{1+\cos v}{(\pi-v)^{2}}.
Informação dada: a função dentro do limite é \dfrac{1+\cos v}{(\pi-v)^{2}} e a variável v aproxima-se de \pi.
Objetivo claro: calcular o valor numérico desse limite quando v se aproxima de \pi.
Passo 2
Relembrando limites fundamentais que vão ser usados (a “aula rápida” que precisava):
Limite trigonométrico clássico
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Isso é um pilar nas provas. Uma forma elementar de entender é usar a desigualdade geométrica \cos x \le \dfrac{\sin x}{x} \le 1 para x pequeno e positivo, e então estender para x\to0. A conclusão é que \sin x é “equivalente” a x quando x\to0.
A partir de (1) segue o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{x^2}=1,
porque é o quadrado do anterior.
Outro limite útil (que vamos derivar a seguir a partir do anterior):
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}.
Uma maneira prática de ver isso é usar a identidade 1-\cos x=2\sin^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right). Então
e quando x\to0 a fração dentro do parêntese tende a 1, logo o limite é 1/2.
Esses são os “limites fundamentais” que vou aplicar ao problema. Eles mostram a regra prática: expressar a diferença trigonométrica em termos de \sin de algo pequeno, e usar \sin t\sim t quando t\to0.
Passo 3
Fazer uma mudança de variável para centrar a expansão em torno de v=\pi.
Defina h=v-\pi. Então h\to 0 quando v\to\pi. Reescrevendo as partes da expressão em h:
\pi-v = -h, portanto (\pi-v)^{2}=h^{2}.
Para o cosseno, use a identidade de deslocamento:
\cos v=\cos(\pi+h)= -\cos h.
Logo
1+\cos v = 1+(-\cos h)=1-\cos h.
Portanto o limite original torna-se (em termos de h):
Agora, quando h\to 0 sabemos que \dfrac{\sin\!\left(\tfrac{h}{2}\right)}{\tfrac{h}{2}}\to 1 (pelo limite clássico). Portanto o quadrado dessa fração tende a 1 e a expressão toda tende a \tfrac{1}{2}.
Passo 5
Concluir o cálculo do limite usando os resultados anteriores:
A partir do Passo 4,
\lim_{h\to 0}\frac{1-\cos h}{h^{2}}=\frac{1}{2},
e como no Passo 3 mostramos que o limite original é exatamente esse, segue que