Q. 03 Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
\lim _{v \rightarrow \pi} \frac{1+\cos v}{(\pi-v)^{2}},

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se o limite \displaystyle \lim_{v\to\pi}\frac{1+\cos v}{(\pi-v)^{2}}.
  • Informação dada: a função dentro do limite é \dfrac{1+\cos v}{(\pi-v)^{2}} e a variável v aproxima-se de \pi.
Objetivo claro: calcular o valor numérico desse limite quando v se aproxima de \pi.

Passo 2

Relembrando limites fundamentais que vão ser usados (a “aula rápida” que precisava):
  1. Limite trigonométrico clássico
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Isso é um pilar nas provas. Uma forma elementar de entender é usar a desigualdade geométrica \cos x \le \dfrac{\sin x}{x} \le 1 para x pequeno e positivo, e então estender para x\to0. A conclusão é que \sin x é “equivalente” a x quando x\to0.
  1. A partir de (1) segue o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{x^2}=1,
porque é o quadrado do anterior.
  1. Outro limite útil (que vamos derivar a seguir a partir do anterior):
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}.
Uma maneira prática de ver isso é usar a identidade 1-\cos x=2\sin^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right). Então
\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{2\sin^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x^2} =2\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2},
e quando x\to0 a fração dentro do parêntese tende a 1, logo o limite é 1/2.
Esses são os “limites fundamentais” que vou aplicar ao problema. Eles mostram a regra prática: expressar a diferença trigonométrica em termos de \sin de algo pequeno, e usar \sin t\sim t quando t\to0.

Passo 3

Fazer uma mudança de variável para centrar a expansão em torno de v=\pi.
Defina h=v-\pi. Então h\to 0 quando v\to\pi. Reescrevendo as partes da expressão em h:
  • \pi-v = -h, portanto (\pi-v)^{2}=h^{2}.
  • Para o cosseno, use a identidade de deslocamento:
\cos v=\cos(\pi+h)= -\cos h.
Logo
1+\cos v = 1+(-\cos h)=1-\cos h.
Portanto o limite original torna-se (em termos de h):
\lim_{v\to\pi}\frac{1+\cos v}{(\pi-v)^{2}} = \lim_{h\to 0}\frac{1-\cos h}{h^{2}}.
Note que ao reescrever a expressão fiquei com o caso exatamente do limite do Passo 2, item 3: \dfrac{1-\cos h}{h^2} quando h\to0.

Passo 4

Aplicar o limite fundamental usado no Passo 2, com explicação didática:
Usando a identidade de meia-ângulo
1-\cos h = 2\sin^{2}\!\left(\frac{h}{2}\right),
temos
\frac{1-\cos h}{h^{2}} = \frac{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{h^{2}} =2\cdot\frac{\sin^{2}\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{\left(\dfrac{h}{2}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{\dfrac{h}{2}}\right)^{2}.
Agora, quando h\to 0 sabemos que \dfrac{\sin\!\left(\tfrac{h}{2}\right)}{\tfrac{h}{2}}\to 1 (pelo limite clássico). Portanto o quadrado dessa fração tende a 1 e a expressão toda tende a \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Concluir o cálculo do limite usando os resultados anteriores:
A partir do Passo 4,
\lim_{h\to 0}\frac{1-\cos h}{h^{2}}=\frac{1}{2},
e como no Passo 3 mostramos que o limite original é exatamente esse, segue que
\lim_{v\to\pi}\frac{1+\cos v}{(\pi-v)^{2}}=\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados