Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{3 x^{2}+2 x+1}-\sqrt{2} x\right),

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{3x^{2}+2x+1}-\sqrt{2}\,x\right).
Informações dadas:
  • A expressão é a diferença entre a raiz quadrada de um polinômio em x e o termo linear \sqrt{2}\,x.
  • A aproximação é quando x tende para +\infty (valores positivos e grandes de x).
    A meta é determinar se esse limite é um número finito, +\infty, -\infty ou não existe por outro motivo.

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: fatorar x^{2} dentro da raiz para explorar o comportamento quando x é grande. Para x>0 tem-se |x|=x, portanto
\sqrt{3x^{2}+2x+1}=\sqrt{x^{2}\!\left(3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}=x\sqrt{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}.
Isso é válido porque estamos levando x a +\infty (ou seja, x positivo e grande).

Passo 3

Substituindo na expressão do limite obtemos
\sqrt{3x^{2}+2x+1}-\sqrt{2}\,x = x\left(\sqrt{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-\sqrt{2}\right).
Para lidar com uma diferença de raízes é comum multiplicar por uma conjugada para transformar a diferença em uma razão (isso evita indeterminações do tipo \infty-\infty). Multiplicando e dividindo por \sqrt{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{2} obtemos
x\left(\sqrt{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-\sqrt{2}\right) = x\cdot\frac{\left(3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)-2} {\sqrt{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{2}}.

Passo 4

Calcule o numerador da fração:
\left(3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)-2 =1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}.
Multiplicando esse resultado por x (o fator que estava fora) obtemos explicitamente
x\cdot\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right) = x+2+\frac{1}{x}.
Portanto a expressão original pode ser escrita como
\frac{x+2+\dfrac{1}{x}}{\sqrt{3+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{2}}.

Passo 5

Agora analisamos o comportamento quando x\to\infty:
  • O numerador x+2+\dfrac{1}{x} tende para +\infty porque o termo dominante é x.
  • O denominador \sqrt{3+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{2} tende para \sqrt{3}+\sqrt{2}, que é um número positivo e finito (pois \sqrt{3}>0 e \sqrt{2}>0).
    Como o numerador cresce sem limite e o denominador tende para uma constante positiva, a razão cresce sem limite positivo.

Passo 6

Conclusão lógica: a expressão dada cresce proporcionalmente a x dividido por uma constante positiva quando x\to\infty, logo não converge para um número finito; ela diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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