Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
,
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é a diferença entre a raiz quadrada de um polinômio em
e o termo linear . - A aproximação é quando
tende para (valores positivos e grandes de ).
A meta é determinar se esse limite é um número finito,, ou não existe por outro motivo.
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: fatorar
dentro da raiz para explorar o comportamento quando
é grande. Para
tem-se
, portanto
Isso é válido porque estamos levando
a
(ou seja,
positivo e grande).
Passo 3
Substituindo na expressão do limite obtemos
Para lidar com uma diferença de raízes é comum multiplicar por uma conjugada para transformar a diferença em uma razão (isso evita indeterminações do tipo
). Multiplicando e dividindo por
obtemos
Passo 4
Calcule o numerador da fração:
Multiplicando esse resultado por
(o fator que estava fora) obtemos explicitamente
Portanto a expressão original pode ser escrita como
Passo 5
Agora analisamos o comportamento quando
:
- O numerador
tende para porque o termo dominante é . - O denominador
tende para , que é um número positivo e finito (pois e ).
Como o numerador cresce sem limite e o denominador tende para uma constante positiva, a razão cresce sem limite positivo.
Passo 6
Conclusão lógica: a expressão dada cresce proporcionalmente a
dividido por uma constante positiva quando
, logo não converge para um número finito; ela diverge para
.
Resposta
+\infty