Q. 01 Determine cada limite:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-6 x^{2}+3 x+2}{x^{3}+x^{2}-3 x+1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se calcular o limite \lim_{x\to 1} \dfrac{x^{3}-6x^{2}+3x+2}{x^{3}+x^{2}-3x+1}.
  • Informação importante: se fazemos a substituição direta x=1 obtemos no numerador 1-6+3+2=0 e no denominador 1+1-3+1=0. Logo a forma é 0/0, que é uma indeterminação — isso nos diz que precisamos manipular algebricamente a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Ideia útil para remover a indeterminação (explicação didática):
  • Teorema do Resto / Teorema do Fator: se um polinômio p(x) satisfaz p(a)=0 então (x-a) é um fator de p(x). Aqui a=1 porque p(1)=0.
  • Isso significa que tanto o numerador quanto o denominador são divisíveis por (x-1).
  • Método prático para dividir por (x-1): divisão sintética (é uma versão rápida da divisão de polinômios). Vou mostrar passo a passo para cada polinômio.

Passo 3

Divisão sintética do numerador x^{3}-6x^{2}+3x+2 por (x-1):
  • Coeficientes do polinômio: 1,\\\ -6,\\\ 3,\\\ 2.
  • Usando 1 como raiz (porque estamos dividindo por x-1):
Processo:
  • Desço o 1 inicial: obtém-se 1.
  • Multiplico 1 por 1 e somo ao próximo coeficiente: 1\cdot1=1, -6+1=-5.
  • Multiplico -5 por 1: -5\cdot1=-5, somo ao próximo: 3+(-5)=-2.
  • Multiplico -2 por 1: -2\cdot1=-2, somo ao próximo: 2+(-2)=0 (resto zero, como esperado).
Assim os coeficientes do quociente são 1,\\\ -5,\\\ -2, isto é o polinômio x^{2}-5x-2.
Portanto
x^{3}-6x^{2}+3x+2=(x-1)\,(x^{2}-5x-2).

Passo 4

Divisão sintética do denominador x^{3}+x^{2}-3x+1 por (x-1):
  • Coeficientes: 1,\\\ 1,\\\ -3,\\\ 1.
  • Usando 1 como raiz:
Processo:
  • Desço o 1.
  • Multiplico 1\cdot1=1, somo: 1+1=2.
  • Multiplico 2\cdot1=2, somo: -3+2=-1.
  • Multiplico -1\cdot1=-1, somo: 1+(-1)=0 (resto zero).
Os coeficientes do quociente são 1,\\\ 2,\\\ -1, isto é x^{2}+2x-1.
Portanto
x^{3}+x^{2}-3x+1=(x-1)\,(x^{2}+2x-1).

Passo 5

Cancelar o fator comum e avaliar o limite:
  • Para x\neq 1 podemos simplificar
\frac{x^{3}-6x^{2}+3x+2}{x^{3}+x^{2}-3x+1} = \frac{(x-1)(x^{2}-5x-2)}{(x-1)(x^{2}+2x-1)} = \frac{x^{2}-5x-2}{x^{2}+2x-1}.
  • Agora a nova função é contínua em x=1, então o limite quando x\to 1 é simplesmente o valor da função em x=1. Calculamos numerador e denominador em x=1:
Numerador: 1^{2}-5\cdot1-2 = 1-5-2 = -6.
Denominador: 1^{2}+2\cdot1-1 = 1+2-1 = 2.
  • Assim o valor da fração é -6/2 = -3.

Passo 6

Interpretação final curta e incentivo:
  • Encontramos que a indeterminação foi removida por fatoração (aplicando o Teorema do Fator) e simplificação. Sempre que cair em 0/0 numa razão de polinômios, tentar dividir por (x-a) com a sendo o ponto de limite é um caminho rápido.
  • Bom trabalho: você conseguiu chegar numa expressão que dá para avaliar diretamente — é exatamente o tipo de técnica que costuma cair em prova. Respira, faz com calma e repete esse procedimento em outros exercícios parecidos.

Resposta

-3

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