Q. 01 Determine cada limite:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se calcular o limite
. - Informação importante: se fazemos a substituição direta
obtemos no numerador e no denominador . Logo a forma é , que é uma indeterminação — isso nos diz que precisamos manipular algebricamente a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 2
Ideia útil para remover a indeterminação (explicação didática):
- Teorema do Resto / Teorema do Fator: se um polinômio
satisfaz então é um fator de . Aqui porque . - Isso significa que tanto o numerador quanto o denominador são divisíveis por
. - Método prático para dividir por
: divisão sintética (é uma versão rápida da divisão de polinômios). Vou mostrar passo a passo para cada polinômio.
Passo 3
Divisão sintética do numerador
por
:
- Coeficientes do polinômio:
. - Usando
como raiz (porque estamos dividindo por ):
Processo:
- Desço o
inicial: obtém-se . - Multiplico
por e somo ao próximo coeficiente: , . - Multiplico
por : , somo ao próximo: . - Multiplico
por : , somo ao próximo: (resto zero, como esperado).
Assim os coeficientes do quociente são
, isto é o polinômio
.
Portanto
Passo 4
Divisão sintética do denominador
por
:
- Coeficientes:
. - Usando
como raiz:
Processo:
- Desço o
. - Multiplico
, somo: . - Multiplico
, somo: . - Multiplico
, somo: (resto zero).
Os coeficientes do quociente são
, isto é
.
Portanto
Passo 5
Cancelar o fator comum e avaliar o limite:
- Para
podemos simplificar
- Agora a nova função é contínua em
, então o limite quando é simplesmente o valor da função em . Calculamos numerador e denominador em :
Numerador:
Denominador:
- Assim o valor da fração é
.
Passo 6
Interpretação final curta e incentivo:
- Encontramos que a indeterminação foi removida por fatoração (aplicando o Teorema do Fator) e simplificação. Sempre que cair em
numa razão de polinômios, tentar dividir por com sendo o ponto de limite é um caminho rápido. - Bom trabalho: você conseguiu chegar numa expressão que dá para avaliar diretamente — é exatamente o tipo de técnica que costuma cair em prova. Respira, faz com calma e repete esse procedimento em outros exercícios parecidos.