Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a infinito:
Informações dadas:
- A expressão é uma fração com potências negativas de
: termos em e . - O objetivo é encontrar o valor (se existir) do limite quando
.
Ideia do método (sem resolver ainda): quando
os termos com potências mais altas em denominador de
(isto é, mais “negativas”, como
) vão a zero mais rápido que os de potência menos negativa (como
). Uma forma padronizada e segura é fatorar a maior potência comum de
presente em numerador e denominador e simplificar.
Passo 2
Fatorar
(maior potência comum entre
e
) de numerador e denominador:
Como
é diferente de zero para todo
, podemos cancelar
no numerador e denominador (essa é uma simplificação algébrica válida para
grandes):
Passo 3
Agora usamos propriedades de limites: se
e
existem e
, então
Aplicando isso a
e
:
Verificação de condição necessária: o limite do denominador é
, que é diferente de zero, então é legítimo dividir os limites como feito no passo anterior. Intuição prática: os termos em
são “menores” que os em
quando
cresce muito; portanto os coeficientes de
dominam o comportamento da fração para
grande. Um truque rápido na prova é sempre comparar as maiores potências (aqui
) e dividir tudo por elas.
Passo 4
Resumo didático e dica para a prova: ao ter uma razão de somas com potências de
ao infinito, fatorar pela maior potência comum (ou dividir numerador e denominador por essa potência) simplifica muito. Depois, calcular limites term-by-term (por ex.
) e aplicar a regra do quociente se o limite do denominador não for zero.