Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{3 t^{-2}+7 t^{-3}}{7 t^{-2}+5 t^{-3}}\,),

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando t tende a infinito:
\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{3 t^{-2}+7 t^{-3}}{7 t^{-2}+5 t^{-3}}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma fração com potências negativas de t: termos em t^{-2} e t^{-3}.
  • O objetivo é encontrar o valor (se existir) do limite quando t \to \infty.
Ideia do método (sem resolver ainda): quando t\to\infty os termos com potências mais altas em denominador de t (isto é, mais “negativas”, como t^{-3}) vão a zero mais rápido que os de potência menos negativa (como t^{-2}). Uma forma padronizada e segura é fatorar a maior potência comum de t presente em numerador e denominador e simplificar.

Passo 2

Fatorar t^{-2} (maior potência comum entre t^{-2} e t^{-3}) de numerador e denominador:
\frac{3 t^{-2}+7 t^{-3}}{7 t^{-2}+5 t^{-3}} = \frac{t^{-2}\!\left(3+7 t^{-1}\right)}{t^{-2}\!\left(7+5 t^{-1}\right)}.
Como t^{-2} é diferente de zero para todo t\neq 0, podemos cancelar t^{-2} no numerador e denominador (essa é uma simplificação algébrica válida para t grandes):
\frac{t^{-2}\!\left(3+7 t^{-1}\right)}{t^{-2}\!\left(7+5 t^{-1}\right)} = \frac{3+7 t^{-1}}{7+5 t^{-1}}.

Passo 3

Agora usamos propriedades de limites: se \lim_{t\to\infty} A(t) e \lim_{t\to\infty} B(t) existem e \lim_{t\to\infty} B(t)\neq 0, então
\lim_{t\to\infty}\frac{A(t)}{B(t)}=\frac{\lim_{t\to\infty}A(t)}{\lim_{t\to\infty}B(t)}.
Aplicando isso a A(t)=3+7 t^{-1} e B(t)=7+5 t^{-1}:
\lim_{t\to\infty} \big(3+7 t^{-1}\big)=3+\lim_{t\to\infty}7 t^{-1}=3+0=3,
\lim_{t\to\infty} \big(7+5 t^{-1}\big)=7+\lim_{t\to\infty}5 t^{-1}=7+0=7.
Verificação de condição necessária: o limite do denominador é 7, que é diferente de zero, então é legítimo dividir os limites como feito no passo anterior. Intuição prática: os termos em t^{-3} são “menores” que os em t^{-2} quando t cresce muito; portanto os coeficientes de t^{-2} dominam o comportamento da fração para t grande. Um truque rápido na prova é sempre comparar as maiores potências (aqui t^{-2}) e dividir tudo por elas.

Passo 4

Resumo didático e dica para a prova: ao ter uma razão de somas com potências de t ao infinito, fatorar pela maior potência comum (ou dividir numerador e denominador por essa potência) simplifica muito. Depois, calcular limites term-by-term (por ex. \lim_{t\to\infty} t^{-1}=0) e aplicar a regra do quociente se o limite do denominador não for zero.

Resposta

\dfrac{3}{7}

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