f(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{\sqrt{4 x+1}-\sqrt{3 x+7}}{x-6}, & \text { se } x \geq-\frac{1}{4} \quad e \quad x \neq 6 \\\ \frac{1}{10}, & \text { se } \quad x=6 \end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função f\) é contínua, onde \(f\) é dada por
\[f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x+7}}{x-6}, & \text{se } x\ge -\tfrac{1}{4}\\ \text{ e }\\ x\neq 6,\\[6pt] \dfrac{1}{10}, & \text{se } x=6. \end{cases}
Informações importantes fornecidas:
A expressão com radicais vale para todos os x\] tais que \(x\ge -\tfrac{1}{4} e x\neq 6.
Em x=6 a expressão original é uma indeterminação 0/0, e o valor da função foi definido explicitamente como \dfrac{1}{10}.
A pergunta é típica: verificar continuidade em todos os pontos do domínio (ou seja, em todo o intervalo [-\tfrac{1}{4},\infty)), em particular no ponto problemático x=6 e no ponto inicial x=-\tfrac{1}{4}.]
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão quando x\neq 6. A técnica usada é a multiplicação pelo conjugado para eliminar a diferença de raízes no numerador. Se x\neq 6 então podemos multiplicar numerador e denominador por \sqrt{4x+1}+\sqrt{3x+7}. Faça isso com calma:
Agora que temos a forma simplificada, vamos estudar continuidade nos pontos onde a expressão vale (isto é, em x\ge -\tfrac{1}{4}, x\neq 6).
Mini-aula rápida sobre continuidade por composição:
A função x\mapsto 4x+1 e x\mapsto 3x+7 são polinômios, portanto contínuas em toda a reta.
A função t\mapsto \sqrt{t} é contínua em seu domínio t\ge 0.
Compondo, x\mapsto \sqrt{4x+1} e x\mapsto \sqrt{3x+7} são contínuas onde estão definidas; aqui estão definidas para x\ge -\tfrac{1}{4} porque 4x+1\ge 0 nesse intervalo e 3x+7>0 já para valores bem menores que -\tfrac{1}{4}.
A soma de funções contínuas é contínua; o recíproco t\mapsto 1/t é contínuo quando t\neq 0.
Aplicando isto: para x\ge -\tfrac{1}{4} e x\neq 6,
f(x)=\frac{1}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x+7}}.
Devemos apenas verificar que o denominador nunca é zero nesse conjunto. Para x\ge -\tfrac{1}{4} temos \sqrt{4x+1}\ge 0 e \sqrt{3x+7}>0 (note que em x=-\tfrac{1}{4} a primeira raiz é 0 mas a segunda é \tfrac{5}{2}), então
\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x+7}>0
para todo x\ge -\tfrac{1}{4}. Portanto o denominador é sempre não nulo, e a função dada pela expressão simplificada é composição de funções contínuas em todo x\ge -\tfrac{1}{4} (exceto que originalmente excluímos x=6 por causa do cancelamento). Conclusão: f é contínua em todos os pontos do intervalo [-\tfrac{1}{4},\infty) com x\neq 6.
Passo 4
Agora tratamos o ponto x=6 — o ponto crítico onde a definição original tinha forma indeterminada. Para provar continuidade em x=6 precisamos mostrar que
\lim_{x\to 6} \frac{\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x+7}}{x-6}
existe e é igual ao valor definido f(6)=\dfrac{1}{10}.
Usamos a expressão simplificada obtida no Passo 2, válida para x\neq 6:
Como o lado direito é uma função contínua em x também no ponto x=6 (o denominador em x=6 é 5+5=10, não nulo), podemos calcular a limite simplesmente substituindo x=6: