Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow x_{0}}[f(x) . g(x)], \quad se \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]=2 \quad e \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}}[f(x)-g(x)]=1

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre limites quando x \to x_{0}:
\lim_{x\to x_{0}}[f(x)+g(x)]=2
\lim_{x\to x_{0}}[f(x)-g(x)]=1.
A pergunta é: calcular
\lim_{x\to x_{0}}[f(x)\cdot g(x)].
Vou listar as informações relevantes: os dois limites acima (da soma e da diferença) e a necessidade de encontrar o limite do produto f(x)g(x) quando x\to x_{0}.

Passo 2

Expressar f(x) e g(x) em função das combinações f(x)+g(x) e f(x)-g(x). Isso é só álgebra básica: somando e subtraindo as expressões obtemos
f(x)=\tfrac{1}{2}\bigl[(f(x)+g(x))+(f(x)-g(x))\bigr]
g(x)=\tfrac{1}{2}\bigl[(f(x)+g(x))-(f(x)-g(x))\bigr].
Essas identidades são verdadeiras para todo x (basta distribuir e simplificar).

Passo 3

Usar propriedades de limite (linearidade). Propriedade usada: se \lim_{x\to x_{0}}h(x)=H e \lim_{x\to x_{0}}k(x)=K, então para constantes a,b
\lim_{x\to x_{0}}[a\,h(x)+b\,k(x)]=aH+bK.
Aplicando essa propriedade às equalidades do passo anterior, temos
\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\tfrac{1}{2}\Bigl(\lim_{x\to x_{0}}[f(x)+g(x)]+\lim_{x\to x_{0}}[f(x)-g(x)]\Bigr)
\lim_{x\to x_{0}}g(x)=\tfrac{1}{2}\Bigl(\lim_{x\to x_{0}}[f(x)+g(x)]-\lim_{x\to x_{0}}[f(x)-g(x)]\Bigr).
Portanto os limites de f e g existem e podem ser obtidos só a partir dos dados.

Passo 4

Substituir os valores numéricos fornecidos:
\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(2+1\bigr)=\tfrac{3}{2},
\lim_{x\to x_{0}}g(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(2-1\bigr)=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Usar a propriedade do limite do produto: se \lim_{x\to x_{0}}f(x)=L e \lim_{x\to x_{0}}g(x)=M então
\lim_{x\to x_{0}}[f(x)g(x)]=L\cdot M.
Aplicando com L=\tfrac{3}{2} e M=\tfrac{1}{2} obtemos
\lim_{x\to x_{0}}[f(x)g(x)]=\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{4}.

Resposta

\tfrac{3}{4}

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