01 Integre:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dxsin(x)
ou seja
integral csc(x),dx
Isso envolve integração de funções trigonométricas usando identidades e uma substituição que transforme o integrando em algo da forma u'/u, para obter um logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos o integrando multiplicando numerador e denominador por csc(x)+cot(x):
integral csc(x),dx =integral csc(x),csc(x)+cot(x)csc(x)+cot(x),dx =integral csc^2(x)+csc(x)cot(x)csc(x)+cot(x),dx

Passo 3

Note que a derivada de
u=csc(x)+cot(x)
é
du =(-csc(x)cot(x)-csc^2(x)),dx =-(csc^2(x)+csc(x)cot(x)),dx

Passo 4

Portanto
csc^2(x)+csc(x)cot(x) =-du,
e a integral fica
integral csc^2(x)+csc(x)cot(x)csc(x)+cot(x),dx =integral -,duu =-integral duu

Passo 5

Integrando em u:
-integral duu =-lnl|ur|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável x, temos
-lnl|csc(x)+cot(x)r|+C
Por identidade alternativa, isso também pode ser escrito como lnl|tan(tfracx2)r|+C.

Resposta

-lnl|csc(x)+cot(x)r|+C

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