Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
y=ln (ln (sec (2 x)))

Passo 1

O enunciado dá a função
y = lnl(ln(sec(2x))r),
que é uma composição de três funções: xmapsto 2x, umapsto sec(u), vmapsto ln(v) e wmapsto ln(w). Para diferenciar, vamos usar a regra da cadeia repetidamente, além das derivadas conhecidas de ln, sec e tan.

Passo 2

Defina
u(x)=lnl(sec(2x)r),
então
y = lnl(u(x)r)
e, pela regra da cadeia para o logaritmo,
y' = u'(x)u(x) = u'(x)ln(sec(2x))

Passo 3

Agora calcule u'(x). Seja
v(x)=sec(2x),
então u(x)=ln(v(x)) e, de novo pela regra da cadeia,
u'(x) = v'(x)v(x)
Mas
v'(x) = ddxl[sec(2x)r] = sec(2x)tan(2x)cdot 2,
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u'(x) = 2,sec(2x)tan(2x)sec(2x) = 2,tan(2x)

Passo 4

Substituindo u'(x) em y' obtemos
y' = 2,tan(2x)ln(sec(2x))

Resposta

y' = 2,tan(2x)ln(sec(2x))

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