Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
y=ln raiz[3]x^2-1x^2+1

Passo 1

Nesse exercício temos
y = ln raiz[3]x^2-1x^2+1
O conteúdo é derivação usando logaritmo (regra de ln ), regra da cadeia e regra do quociente. Vamos precisar transformar a expressão para facilitar a derivada e depois aplicar (ln u)' = u'/u.

Passo 2

Primeiro simplificamos o logaritmo: lembre que
lnl(u^1/3r)=13ln(u)
Aqui u=(x^2-1)/(x^2+1), então
y = 13,ln!l(x^2-1x^2+1r)

Passo 3

Aplicamos a derivada de logaritmo:
y' = 13,dfracddx!l(x^2-1x^2+1r)x^2-1x^2+1

Passo 4

Agora calculamos
u = x^2-1x^2+1,
usando a regra do quociente:
u' = (2x)(x^2+1) - (x^2-1)(2x)(x^2+1)^2 = 2x,x^2 + 2x - 2x,x^2 + 2x(x^2+1)^2 = 4x(x^2+1)^2

Passo 5

Substituindo em y':
y' = 13,4x(x^2+1)^2x^2-1x^2+1 = 4x3,1(x^2+1)^2;x^2+1x^2-1 = 4x3,(x^2+1),(x^2-1)

Resposta

y' = 4x3,(x^2-1),(x^2+1)

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