Simplifique as frações impróprias por meio da divisão entre polinômios e use frações parciais para resolver as integrais.
Exemplo: integral x^3+xx-1 d x=integral(x^2+x+2+2x-1) d x
integral 3 r^23 r+4 d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 3r^23r+4,dr
usando divisão de polinômios e frações parciais. O conteúdo é integração por divisão de polinômios e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Para dividir 3r^23r+4, suponha
3r^23r+4 = Ar + B + C3r+4
Multiplicando por 3r+4,
3r^2 = (Ar + B)(3r+4) + C =3A,r^2 + (4A+3B),r + (4B+C)
Igualando coeficientes:
3A=3, 4A+3B=0, 4B+C=0
de onde
A=1, B=-tfrac43, C=tfrac163

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral 3r^23r+4,dr =integrall(r - tfrac43 + tfrac1633r+4r),dr =integral r,dr - 43integral dr + 163integraldr3r+4

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral r,dr = r^22, -43integral dr = -4r3
Para
163integraldr3r+4,
faça u=3r+4, du=3,dr, dr=tfracdu3:
163integraldr3r+4 =163integral1u,du3 =169lnlvert urvert =169lnlvert 3r+4rvert

Resposta

integral 3r^23r+4,dr =r^22 - 4r3 + 169lnlvert 3r+4rvert + C

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