01 - Laser de Nd:YAG. Considere um laser de Nd:YAG com dois níveis de energia separados por uma diferença de energia correspondente ao comprimento de onda no vácuo \lambda_{0}=\mathbf{1 0 6 4 n m}, com uma curva Lorentziana com \boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{v}=\mathbf{1 2 0 G H z}. O tempo de vida espontâneo é \boldsymbol{t}_{s p}=\mathbf{1 , 2 m s}. Se \boldsymbol{N}_{\mathbf{1}}+\boldsymbol{N}_{\mathbf{2}}=\boldsymbol{N}_{\boldsymbol{a}}=\mathbf{1 0}^{\mathbf{2 0}} \boldsymbol{c m}^{\mathbf{- 3}} :
(a) Determine a diferença de população \boldsymbol{N} \boldsymbol{=} \boldsymbol{N}_{2}-\boldsymbol{N}_{1} e o coeficiente de atenuação para a linha central \boldsymbol{\alpha}\left(\boldsymbol{v}_{\mathbf{0}}\right) sobre condições de equilíbrio térmico para \boldsymbol{T}=\mathbf{3 0 0 K}.
(b) Qual o valor da diferença de população para um coeficiente de ganho \boldsymbol{\gamma} \boldsymbol{(} \boldsymbol{\boldsymbol { v } _ { \mathbf { 0 } }} \boldsymbol{)} \boldsymbol{=} \mathbf{0 , 5} \boldsymbol{c m}^{\boldsymbol{- 1}} para a freqüência central?
(c) Determine a densidade de fluxo de fotons de saturação, e a correspondente intensidade de saturação, para \boldsymbol{\lambda}_{\mathbf{0}} \boldsymbol{=} \mathbf{1 0 6 4} \boldsymbol{n} \boldsymbol{m}, transição do laser de Nd:YAG para \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{\mathbf{0}}. Assuma que \boldsymbol{\tau}_{\mathbf{s}} \sim 2 \boldsymbol{t}_{s \boldsymbol{p}}.
(d) Determine o numero de fótons emitidos espontaneamente por segundo.
(e) Numa cavidade ressonante de \mathbf{3 0 m m} com área de \mathbf{1} \boldsymbol{c m}^{2} com espelho e semi-espelho com refletância de \mathbf{8 0 \%}. Assumindo que não há espalhamento, determine o coeficiente de perda da cavidade \boldsymbol{\alpha}_{r} e o tempo de vida \boldsymbol{\tau}_{p}.
(f) Quando o laser é bombeado, o coeficiente de ganho aumenta, assim, determine o limiar da diferença de população \boldsymbol{N}_{\boldsymbol{t}} para oscilação laser.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que já temos):
\lambda_{0}=1064\\ \text{nm}=1{,}064\times10^{-6}\\ \text{m},
\Delta\nu=120\\ \text{GHz}=1{,}20\times10^{11}\\ \text{Hz},
\tau_{sp}=1{,}2\\ \text{ms}=1{,}2\times10^{-3}\\ \text{s},
N_1+N_2=N_a=10^{20}\\ \text{cm}^{-3},
Temperatura T=300\\ \text{K}. Pedidos:
(a) calcular a diferença de população N=N_2-N_1 em equilíbrio térmico e o coeficiente de atenuação na frequência central \alpha(\nu_0);
(b) encontrar N quando o coeficiente de ganho \gamma(\nu_0)=0{,}5\\ \text{cm}^{-1};
(c) determinar a densidade de fluxo de fótons de saturação e a intensidade de saturação em \nu_0, assumindo \tau_s\approx 2\tau_{sp};
(d) determinar o número de fótons emitidos espontaneamente por segundo (vamos calcular taxa por unidade de volume e também o total para o volume da cavidade que aparece no item (e));
(e) para uma cavidade de L=30\\ \text{mm}=3\\ \text{cm} e área A=1\\ \text{cm}^2 com espelhos de refletância R=0{,}80 (assumimos ambos R_1=R_2=0{,}80) e sem espalhamento, determinar o coeficiente de perda da cavidade \alpha_r e o tempo de vida \tau_p;
(f) determinar a diferença de população limiar N_t para oscilação laser (condição de limiar).

Passo 2

Cálculo da energia do fóton e das populações em equilíbrio térmico (Boltzmann).
Energia do fóton da transição:
E=h\nu=\frac{hc}{\lambda_0}.
Usando h=6{,}626\times10^{-34}\\ \text{J·s} e c=2{,}998\times10^{8}\\ \text{m/s},
E=\frac{6{,}626\times10^{-34}\cdot2{,}998\times10^{8}}{1{,}064\times10^{-6}} \approx1{,}8664\times10^{-19}\\ \text{J}.
Energia térmica em T=300\\ \text{K}:
k_B T=1{,}380649\times10^{-23}\cdot300\approx4{,}1419\times10^{-21}\\ \text{J}.
Razão de Boltzmann:
\frac{N_2}{N_1}=e^{-E/(k_B T)}=e^{-1{,}8664\times10^{-19}/4{,}1419\times10^{-21}}\approx e^{-45{,}06}\approx2{,}62\times10^{-20}.
Como N_a=N_1+N_2 e N_2\ll N_1, temos
N_2=N_a\frac{e^{-E/(k_BT)}}{1+e^{-E/(k_BT)}}\approx N_a e^{-E/(k_BT)}\approx10^{20}\cdot2{,}62\times10^{-20}\approx2{,}62\\ \text{cm}^{-3},
N_1\approx N_a-N_2\approx10^{20}\\ \text{cm}^{-3}.
Portanto a diferença de população em equilíbrio térmico é
N=N_2-N_1\approx2{,}62 - 10^{20}\approx -1{,}000000000000000000\times10^{20}\\ \text{cm}^{-3}\approx -1{,}0\times10^{20}\\ \text{cm}^{-3}.

Passo 3

Derivação da seção de choque de emissão/absorção no centro da linha (usar Einstein).
Relações fundamentais: A_{21}=1/\tau_{sp} e o coeficiente de seção eficaz espectral \sigma(\nu) relaciona-se a B_{21} e ao perfil de linha \varphi(\nu). Usando as relações de Einstein e relação entre A_{21} e B_{21} chega-se (passo padrão que eu resumo aqui) à fórmula:
\sigma(\nu)=\frac{\lambda_0^2}{8\pi}\,A_{21}\,\varphi(\nu)=\frac{\lambda_0^2}{8\pi\tau_{sp}}\varphi(\nu),
onde \varphi(\nu) é o perfil de linha normalizado ( \int\varphi(\nu)d\nu=1). Para uma linha Lorentziana com largura de linha (FWHM) \Delta\nu o pico do perfil é
\varphi(\nu_0)=\frac{2}{\pi\Delta\nu}.
Assim a seção eficaz de pico (na linha central) é
\sigma_0\equiv\sigma(\nu_0)=\frac{\lambda_0^2}{8\pi\tau_{sp}}\cdot\frac{2}{\pi\Delta\nu} =\frac{\lambda_0^2}{4\pi^2\tau_{sp}\Delta\nu}.

Passo 4

Cálculo numérico da seção de choque de pico \sigma_0 (em \text{cm}^2).
Substituindo valores (usar unidades SI e converter no final):
\lambda_0^2=(1{,}064\times10^{-6})^2=1{,}132096\times10^{-12}\\ \text{m}^2,
4\pi^2\tau_{sp}\Delta\nu=4\pi^2(1{,}2\times10^{-3})(1{,}20\times10^{11})\approx5{,}68469\times10^{9}.
Logo
\sigma_0=\frac{1{,}132096\times10^{-12}}{5{,}68469\times10^{9}}\\ \text{m}^2 \approx1{,}9915\times10^{-22}\\ \text{m}^2.
Convertendo para \text{cm}^2 ( 1\\ \text{m}^2=10^{4}\\ \text{cm}^2 ):
\sigma_0\approx1{,}9915\times10^{-18}\\ \text{cm}^2\approx2{,}0\times10^{-18}\\ \text{cm}^2.

Passo 5

Cálculo do coeficiente de atenuação no centro \alpha(\nu_0) e conclusão do item (a).
Para um meio com populações N_1,N_2 o coeficiente de atenuação (absorção líquida) é
\alpha(\nu)=\bigl(N_1-N_2\bigr)\sigma(\nu).
No centro,
\alpha(\nu_0)=(N_1-N_2)\sigma_0\approx N_a\sigma_0
pois N_2\ll N_1. Numérico:
\alpha(\nu_0)\approx10^{20}\cdot1{,}9915\times10^{-18}\\ \text{cm}^{-1}\approx1{,}9915\times10^{2}\\ \text{cm}^{-1}\approx1{,}99\times10^{2}\\ \text{cm}^{-1}.
Portanto, resposta ao item (a): N\approx-1{,}0\times10^{20}\\ \text{cm}^{-3} e \alpha(\nu_0)\approx1{,}99\times10^{2}\\ \text{cm}^{-1} (absorção forte, sinal positivo para atenuação).

Passo 6

Item (b): diferença de população necessária para um ganho \gamma(\nu_0)=0{,}5\\ \text{cm}^{-1}.
Relação entre ganho/local e seção de choque:
\gamma(\nu_0)=(N_2-N_1)\sigma_0=N\cdot\sigma_0.
Isolando N:
N=\frac{\gamma(\nu_0)}{\sigma_0}.
Numérico:
N=\frac{0{,}5}{1{,}9915\times10^{-18}}\\ \text{cm}^{-3}\approx2{,}511\times10^{17}\\ \text{cm}^{-3}.
Ou seja, precisa-se de uma inversão parcial positiva de ordem 10^{17}\\ \text{cm}^{-3}.

Passo 7

Item (c): densidade de fluxo de fótons de saturação e intensidade de saturação.
Definição física: saturação ocorre quando a taxa de transições estimuladas \sigma_0\Phi (onde \Phi é fluxo de fótons em fótons·cm ^{-2}·s ^{-1}) é da ordem da taxa de relaxação \tau_s^{-1}. Assim o fluxo de saturação é aproximadamente
\Phi_{sat}=\frac{1}{\sigma_0\tau_s}.
Foi dado \tau_s\approx2\tau_{sp}=2{,}4\times10^{-3}\\ \text{s}. Então
\Phi_{sat}=\frac{1}{1{,}9915\times10^{-18}\cdot2{,}4\times10^{-3}} \approx2{,}093\times10^{20}\\ \text{fótons·cm}^{-2}\text{s}^{-1}.ó
A intensidade de saturação (energia por área por tempo) é
I_{sat}=\Phi_{sat}\,h\nu=\Phi_{sat}\,E.
Usando E\approx1{,}8664\times10^{-19}\\ \text{J},
I_{sat}=2{,}093\times10^{20}\cdot1{,}8664\times10^{-19}\\ \text{W·cm}^{-2} \approx3{,}905\times10^{1}\\ \text{W·cm}^{-2}\approx39{,}1\\ \text{W·cm}^{-2}.
(Se preferir em SI: I_{sat}\approx3{,}91\times10^{5}\\ \text{W·m}^{-2}.)

Passo 8

Item (d): número de fótons emitidos espontaneamente por segundo.
Taxa volumétrica de emissão espontânea (fotons·cm ^{-3}·s ^{-1}):
R_{sp}=\frac{N_2}{\tau_{sp}}.
Com N_2\approx2{,}62\\ \text{cm}^{-3} e \tau_{sp}=1{,}2\times10^{-3}\\ \text{s},
R_{sp}\approx\frac{2{,}62}{1{,}2\times10^{-3}}\\ \text{s}^{-1}\text{·cm}^{-3}\approx2{,}183\times10^{3}\\ \text{fótons·cm}^{-3}\text{s}^{-1}.ó
Se quisermos o total de fótons espontâneos por segundo dentro da cavidade do item (e) com volume
V=L\cdot A=3\\ \text{cm}\cdot1\\ \text{cm}^2=3\\ \text{cm}^3,
então
R_{sp,total}=R_{sp}\cdot V\approx2{,}183\times10^{3}\cdot3\approx6{,}55\times10^{3}\\ \text{fótons·s}^{-1}.ó

Passo 9

Item (e): coeficiente de perda da cavidade \alpha_r e tempo de vida \tau_p.
Para dois espelhos com refletâncias R_1,R_2 e sem outras perdas, a atenuação equivalente por comprimento é obtida pela condição
\exp(-2\alpha_r L)=R_1R_2,
logo
\alpha_r=-\frac{1}{2L}\ln(R_1R_2).
Com R_1=R_2=0{,}80 temos R_1R_2=0{,}64 e L=3\\ \text{cm}:
\alpha_r=-\frac{1}{6}\ln(0{,}64)\approx\frac{0{,}446287}{6}\approx0{,}07438\\ \text{cm}^{-1}.
Tempo de vida dos fótons na cavidade: intensidade decai como \exp(-\alpha_r c t) (velocidade da luz em cm/s), portanto
\tau_p=\frac{1}{\alpha_r c}.
Com c\approx3{,}0\times10^{10}\\ \text{cm/s},
\tau_p\approx\frac{1}{0{,}07438\cdot3{,}0\times10^{10}}\\ \text{s}\approx4{,}48\times10^{-10}\\ \text{s}\approx0{,}45\\ \text{ns}.
(Alternativamente \tau_p=\dfrac{t_{rt}}{-\ln(R_1R_2)} com t_{rt}=2L/c dá o mesmo resultado.)

Passo 10

Item (f): diferença de população limiar N_t para oscilação laser.
Condição de limiar: ganho por unidade de comprimento \gamma_t iguala perdas por unidade de comprimento \alpha_r. Como \gamma=N\sigma_0,
N_t=\frac{\alpha_r}{\sigma_0}.
Usando \alpha_r\approx0{,}07438\\ \text{cm}^{-1} e \sigma_0\approx1{,}9915\times10^{-18}\\ \text{cm}^2,
N_t\approx\frac{0{,}07438}{1{,}9915\times10^{-18}}\\ \text{cm}^{-3}\approx3{,}735\times10^{16}\\ \text{cm}^{-3}.
Isto é, precisa-se de uma inversão positiva da ordem de 10^{16}\\ \text{cm}^{-3} para alcançar o limiar da cavidade considerada.

Resposta

(a) N=N_2-N_1\approx-1{,}0\times10^{20}\\ \text{cm}^{-3}. \alpha(\nu_0)\approx1{,}99\times10^{2}\\ \text{cm}^{-1}.
(b) N=\dfrac{\gamma(\nu_0)}{\sigma_0}\approx2{,}51\times10^{17}\\ \text{cm}^{-3}.
(c) \Phi_{sat}\approx2{,}09\times10^{20}\\ \text{fótons·cm}^{-2}\text{s}^{-1}.\quad I_{sat}\approx39{,}1\\ \text{W·cm}^{-2}.ó
(d) R_{sp}\approx2{,}18\times10^{3}\\ \text{fótons·cm}^{-3}\text{s}^{-1}ó (por cm ^3); para o volume da cavidade V=3\\ \text{cm}^3: R_{sp,total}\approx6{,}55\times10^{3}\\ \text{fótons·s}^{-1}.ó
(e) \alpha_r\approx0{,}07438\\ \text{cm}^{-1}.\quad \tau_p\approx4{,}48\times10^{-10}\\ \text{s}.
(f) N_t=\dfrac{\alpha_r}{\sigma_0}\approx3{,}74\times10^{16}\\ \text{cm}^{-3}.

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