01 - Laser de Nd:YAG. Considere um laser de Nd:YAG com dois níveis de energia separados por uma diferença de energia correspondente ao comprimento de onda no vácuo
, com uma curva Lorentziana com
. O tempo de vida espontâneo é
. Se
:
(a) Determine a diferença de população
e o coeficiente de atenuação para a linha central
sobre condições de equilíbrio térmico para
.
(b) Qual o valor da diferença de população para um coeficiente de ganho
para a freqüência central?
(c) Determine a densidade de fluxo de fotons de saturação, e a correspondente intensidade de saturação, para
, transição do laser de Nd:YAG para
. Assuma que
.
(d) Determine o numero de fótons emitidos espontaneamente por segundo.
(e) Numa cavidade ressonante de
com área de
com espelho e semi-espelho com refletância de
. Assumindo que não há espalhamento, determine o coeficiente de perda da cavidade
e o tempo de vida
.
(f) Quando o laser é bombeado, o coeficiente de ganho aumenta, assim, determine o limiar da diferença de população
para oscilação laser.
(a) Determine a diferença de população
(b) Qual o valor da diferença de população para um coeficiente de ganho
(c) Determine a densidade de fluxo de fotons de saturação, e a correspondente intensidade de saturação, para
(d) Determine o numero de fótons emitidos espontaneamente por segundo.
(e) Numa cavidade ressonante de
(f) Quando o laser é bombeado, o coeficiente de ganho aumenta, assim, determine o limiar da diferença de população
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que já temos):
Temperatura
. Pedidos:
(a) calcular a diferença de população em equilíbrio térmico e o coeficiente de atenuação na frequência central
;
(b) encontrar quando o coeficiente de ganho
;
(c) determinar a densidade de fluxo de fótons de saturação e a intensidade de saturação em , assumindo
;
(d) determinar o número de fótons emitidos espontaneamente por segundo (vamos calcular taxa por unidade de volume e também o total para o volume da cavidade que aparece no item (e));
(e) para uma cavidade de e área
com espelhos de refletância
(assumimos ambos
) e sem espalhamento, determinar o coeficiente de perda da cavidade
e o tempo de vida
;
(f) determinar a diferença de população limiar para oscilação laser (condição de limiar).
(a) calcular a diferença de população
(b) encontrar
(c) determinar a densidade de fluxo de fótons de saturação e a intensidade de saturação em
(d) determinar o número de fótons emitidos espontaneamente por segundo (vamos calcular taxa por unidade de volume e também o total para o volume da cavidade que aparece no item (e));
(e) para uma cavidade de
(f) determinar a diferença de população limiar
Passo 2
Cálculo da energia do fóton e das populações em equilíbrio térmico (Boltzmann).
Energia do fóton da transição:
Energia do fóton da transição:
Usando
e
,
Energia térmica em
:
Razão de Boltzmann:
Como
e
, temos
Portanto a diferença de população em equilíbrio térmico é
Passo 3
Derivação da seção de choque de emissão/absorção no centro da linha (usar Einstein).
Relações fundamentais: e o coeficiente de seção eficaz espectral
relaciona-se a
e ao perfil de linha
. Usando as relações de Einstein e relação entre
e
chega-se (passo padrão que eu resumo aqui) à fórmula:
Relações fundamentais:
onde
é o perfil de linha normalizado (
). Para uma linha Lorentziana com largura de linha (FWHM)
o pico do perfil é
Assim a seção eficaz de pico (na linha central) é
Passo 4
Cálculo numérico da seção de choque de pico
(em
).
Substituindo valores (usar unidades SI e converter no final):
Substituindo valores (usar unidades SI e converter no final):
Logo
Convertendo para
(
):
Passo 5
Cálculo do coeficiente de atenuação no centro
e conclusão do item (a).
Para um meio com populações o coeficiente de atenuação (absorção líquida) é
Para um meio com populações
No centro,
pois
. Numérico:
Portanto, resposta ao item (a):
e
(absorção forte, sinal positivo para atenuação).
Passo 6
Item (b): diferença de população necessária para um ganho
.
Relação entre ganho/local e seção de choque:
Relação entre ganho/local e seção de choque:
Isolando
:
Numérico:
Ou seja, precisa-se de uma inversão parcial positiva de ordem
.
Passo 7
Item (c): densidade de fluxo de fótons de saturação e intensidade de saturação.
Definição física: saturação ocorre quando a taxa de transições estimuladas (onde
é fluxo de fótons em fótons·cm
·s
) é da ordem da taxa de relaxação
. Assim o fluxo de saturação é aproximadamente
Definição física: saturação ocorre quando a taxa de transições estimuladas
Foi dado
. Então
A intensidade de saturação (energia por área por tempo) é
Usando
,
(Se preferir em SI:
.)
Passo 8
Item (d): número de fótons emitidos espontaneamente por segundo.
Taxa volumétrica de emissão espontânea (fotons·cm ·s
):
Taxa volumétrica de emissão espontânea (fotons·cm
Com
e
,
Se quisermos o total de fótons espontâneos por segundo dentro da cavidade do item (e) com volume
então
Passo 9
Item (e): coeficiente de perda da cavidade
e tempo de vida
.
Para dois espelhos com refletâncias e sem outras perdas, a atenuação equivalente por comprimento é obtida pela condição
Para dois espelhos com refletâncias
logo
Com
temos
e
:
Tempo de vida dos fótons na cavidade: intensidade decai como
(velocidade da luz em cm/s), portanto
Com
,
(Alternativamente
com
dá o mesmo resultado.)
Passo 10
Item (f): diferença de população limiar
para oscilação laser.
Condição de limiar: ganho por unidade de comprimento iguala perdas por unidade de comprimento
. Como
,
Condição de limiar: ganho por unidade de comprimento
Usando
e
,
Isto é, precisa-se de uma inversão positiva da ordem de
para alcançar o limiar da cavidade considerada.
Resposta
(a)
.
(b)
(c)
(d) (por cm
); para o volume da cavidade
:
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)