Considere um bloco de massa
2 kg ligado por uma mola de massa desprezível e constante elástica
dentro de um recipiente contendo líquido viscoso. O coeficiente de amortecimento do líquido é tal que o regime de amortecimento é crítico, cuja solução é
na ausência de forças externas. O sistema é então submetido a uma força externa
, sendo
e
. Constata-se que, no início do movimento, o bloco estava em repouso na posição de equilíbrio.
(a) Qual é a amplitude de oscilação depois de um tempo longo o suficiente, tal que o movimento se encontra no regime estacionário?
(b) Qual é a fase de oscilação do regime estacionário?
(c) Quais são os valores de
e
que satisfazem as condições iniciais do problema?
(a) Qual é a amplitude de oscilação depois de um tempo longo o suficiente, tal que o movimento se encontra no regime estacionário?
(b) Qual é a fase de oscilação do regime estacionário?
(c) Quais são os valores de
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) A amplitude da oscilação no regime estacionário, isto é, muito tempo após o início, quando a resposta livre já morreu e resta apenas a resposta forçada pela força
. - (b) A fase da oscilação no regime estacionário (ou seja, o deslocamento de fase entre a força e a resposta).
- (c) Os valores das constantes
e da solução homogênea
que satisfazem as condições iniciais: o bloco estava inicialmente em repouso na posição de equilíbrio.
Informações dadas:
Foi dito que o amortecimento é crítico e que, na ausência de forças externas, a solução homogênea é
. O bloco inicia em repouso na posição de equilíbrio, isto é,
Passo 2
Escrevemos a equação do movimento (equação massa-mola-amortecedor forçada). A forma padrão é
Dividindo por
escrevemos com os parâmetros usados no enunciado:
onde explicito o que significa cada símbolo:
Calculamos
com os dados:
Como o amortecimento é crítico temos a condição
Também calculamos
, que aparece como amplitude da força por unidade de massa:
Passo 3
Agora vamos encontrar a resposta estacionária (particular) para a excitação harmônica. Procuramos uma solução particular da forma
Derivando:
Substituindo na equação diferencial
obtemos, agrupando coeficientes de
Da segunda equação temos
Substituindo na primeira e resolvendo para
obtemos as soluções
A amplitude da resposta estacionária é
A fase
entre a força e a resposta é dada por
Se escrevermos a resposta particular na forma
então
Importante: para obter
numericamente devemos escolher o quadrante correto, verificando os sinais de
e
.]
Passo 4
Agora aplicamos os números:
Calculamos o denominador da expressão de
:
Logo a amplitude do regime estacionário é
Passo 5
Calculamos agora a fase
. A tangente é
Isso daria um ângulo de referência
(ou
), mas esse valor está no quadrante IV porque a função arctan entrega um ângulo principal entre
e
. Devemos olhar os sinais de
e
para escolher o quadrante correto:
Assim
e
, ou seja, seno positivo e cosseno negativo, portanto
está no segundo quadrante. Para obter
usamos
O ângulo correspondente é
(Alternativamente
, que dá o mesmo valor.)
Passo 6
Agora achamos
e
para satisfazer as condições iniciais. A solução geral é
As condições iniciais são
e
. Avaliando em
:
Agora a derivada do termo homogêneo é
Em
obtemos
A derivada da solução particular é
logo em
A condição
dá
Desse resultado isolamos
:
Substituindo
obtemos a fórmula final
Passo 7
Agora calculamos numericamente
e
com os valores encontrados:
Primeiro
:
Agora
:
Calculemos a soma dentro do parêntese:
Portanto
Resposta
(a)
(b) (aprox.
)
(c)
(b)
(c)