- 9 - Uma massa de 2.20 kg oscila presa a uma mola de constante
com um período de 0.615 s .
(a) A frequência angular natural do sistema é
(b) A frequência angular de oscilação do sistema é
(c) A constante de amortecimento viscoso é:
(d) Sobre o sistema, ele é ele é um movimento subcrítico, crítico ou supercrítico.
(a) A frequência angular natural do sistema é
(b) A frequência angular de oscilação do sistema é
(c) A constante de amortecimento viscoso é:
(d) Sobre o sistema, ele é ele é um movimento subcrítico, crítico ou supercrítico.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas e fornece alguns dados. Vou listar explicitamente o que foi pedido e o que foi dado:
-
Perguntas:
(a) A frequência angular natural do sistema.
(b) A frequência angular de oscilação do sistema.
(c) A constante de amortecimento viscoso.
(d) Se o movimento é subcrítico, crítico ou supercrítico. -
Dados fornecidos:Observação (apenas listando o dado): o enunciado diz que a massa "oscila … com um período de
". Vou usar esse período como o período observado de oscilação (isto é, o período amortecido), que é o dado necessário para encontrar a frequência angular de oscilação e, a partir daí, o amortecimento.
Passo 2
Calculando a frequência angular natural (não amortecida)
.
-
Conceito rápido: a frequência angular natural
é a velocidade angular com que o sistema massa-mola oscilaria se não houvesse amortecimento. Para um sistema massa-mola sem amortecimento a fórmula é Aquiestá em rad/s, em N/m e em kg. -
Aplicando aos números:Primeiro calculamos a divisão:Agora a raiz quadrada:
Passo 3
Calculando a frequência angular de oscilação observada (amortecida)
.
-
Conceito rápido: o período observado
corresponde ao período do movimento amortecido quando o sistema está subamortecido; a relação entre período e frequência angular amortecida é Aquié a frequência angular de oscilação real (rad/s) associada ao período . -
Aplicando:Sabendo
,
Passo 4
Relação entre
,
e a constante de amortecimento por unidade de massa
.
-
Teoria curta e útil: para um amortecimento viscoso linear, a equação característica leva a uma solução amortecida com frequência angularonde
é a constante de amortecimento normalizada pela massa: comsendo a constante de amortecimento viscoso (unidade ). Esta fórmula vale quando o sistema é subamortecido ( ), o que gera oscilações que decaem exponencialmente. -
Isolando
: -
Calculando numericamente:(uma forma estável de calcular a diferença é usar
.)
Calculando a diferença:Então
Passo 5
Calculando a constante de amortecimento viscoso
.
-
Relação entre
e : Significado:tem unidade e representa a força de amortecimento proporcional à velocidade (força = ). -
Aplicando:
Passo 6
Classificação do amortecimento: subcrítico, crítico ou supercrítico.
-
Conceito: o amortecimento crítico
é o valor de que faz . Fórmulas equivalentes: O parâmetro adimensional (razão de amortecimento) éSeo sistema é subcrítico (underdamped) — oscila e decai; se é crítico; se é supercrítico (overdamped) — não oscila. -
Calculando
e :
Como
, o sistema é subcrítico (ou seja, amortecimento fraco: oscilações amortecidas).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) subcrítico (amortecimento fraco, )
(b)
(c)
(d) subcrítico (amortecimento fraco,