• 9 - Uma massa de 2.20 kg oscila presa a uma mola de constante k=250.0 \mathrm{~N} / \mathrm{m} com um período de 0.615 s .
    (a) A frequência angular natural do sistema é
    (b) A frequência angular de oscilação do sistema é
    (c) A constante de amortecimento viscoso é:
    (d) Sobre o sistema, ele é ele é um movimento subcrítico, crítico ou supercrítico.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas e fornece alguns dados. Vou listar explicitamente o que foi pedido e o que foi dado:
  • Perguntas:
    (a) A frequência angular natural do sistema.
    (b) A frequência angular de oscilação do sistema.
    (c) A constante de amortecimento viscoso.
    (d) Se o movimento é subcrítico, crítico ou supercrítico.
  • Dados fornecidos:
    m = 2{,}20\\ \mathrm{kg}, \qquad k = 250{,}0\\ \mathrm{N/m}, \qquad T = 0{,}615\\ \mathrm{s}.
    Observação (apenas listando o dado): o enunciado diz que a massa "oscila … com um período de 0{,}615\\ \mathrm{s}". Vou usar esse período como o período observado de oscilação (isto é, o período amortecido), que é o dado necessário para encontrar a frequência angular de oscilação e, a partir daí, o amortecimento.

Passo 2

Calculando a frequência angular natural (não amortecida) \omega_0.
  • Conceito rápido: a frequência angular natural \omega_0 é a velocidade angular com que o sistema massa-mola oscilaria se não houvesse amortecimento. Para um sistema massa-mola sem amortecimento a fórmula é
    \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}.
    Aqui \omega_0 está em rad/s, k em N/m e m em kg.
  • Aplicando aos números:
    \omega_0 = \sqrt{\frac{250{,}0}{2{,}20}}.
    Primeiro calculamos a divisão:
    \frac{250{,}0}{2{,}20} = 113{,}636363\ldots
    Agora a raiz quadrada:
    \omega_0 = \sqrt{113{,}636363\ldots} \approx 10{,}6571\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Calculando a frequência angular de oscilação observada (amortecida) \omega_d.
  • Conceito rápido: o período observado T corresponde ao período do movimento amortecido quando o sistema está subamortecido; a relação entre período e frequência angular amortecida é
    \omega_d = \frac{2\pi}{T}.
    Aqui \omega_d é a frequência angular de oscilação real (rad/s) associada ao período T.
  • Aplicando:
    \omega_d = \frac{2\pi}{0{,}615}.
    Sabendo \;2\pi \approx 6{,}283185307\ldots,
    \omega_d \approx \frac{6{,}283185307}{0{,}615} \approx 10{,}2165\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Relação entre \omega_0, \omega_d e a constante de amortecimento por unidade de massa \gamma.
  • Teoria curta e útil: para um amortecimento viscoso linear, a equação característica leva a uma solução amortecida com frequência angular
    \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2},
    onde \gamma é a constante de amortecimento normalizada pela massa:
    \gamma = \frac{c}{2m},
    com c sendo a constante de amortecimento viscoso (unidade \mathrm{N\cdot s/m}). Esta fórmula vale quando o sistema é subamortecido ( \gamma < \omega_0), o que gera oscilações que decaem exponencialmente.
  • Isolando \gamma:
    \gamma = \sqrt{\omega_0^2 - \omega_d^2}.
  • Calculando numericamente:
    \omega_0^2 = \frac{k}{m} = 113{,}636363\ldots, \qquad \omega_d^2 \approx (10{,}2165)^2 \approx 104{,}440\ldots
    (uma forma estável de calcular a diferença é usar \omega_0^2-\omega_d^2=(\omega_0-\omega_d)(\omega_0+\omega_d).)
    Calculando a diferença:
    \omega_0^2 - \omega_d^2 \approx 113{,}63636 - 104{,}440 \approx 9{,}19636.
    Então
    \gamma \approx \sqrt{9{,}19636} \approx 3{,}033\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Calculando a constante de amortecimento viscoso c.
  • Relação entre c e \gamma:
    c = 2 m \gamma.
    Significado: c tem unidade \mathrm{N\cdot s/m} e representa a força de amortecimento proporcional à velocidade (força = -c\,v).
  • Aplicando:
    c = 2 \cdot 2{,}20 \cdot 3{,}033 \approx 4{,}40 \cdot 3{,}033 \approx 13{,}35\\ \mathrm{N\cdot s/m}.

Passo 6

Classificação do amortecimento: subcrítico, crítico ou supercrítico.
  • Conceito: o amortecimento crítico c_{\text{crit}} é o valor de c que faz \gamma=\omega_0. Fórmulas equivalentes:
    c_{\text{crit}} = 2 m \omega_0 = 2\sqrt{m k}.
    O parâmetro adimensional (razão de amortecimento) é
    \zeta = \frac{c}{c_{\text{crit}}} = \frac{c}{2 m \omega_0}.
    Se \zeta<1 o sistema é subcrítico (underdamped) — oscila e decai; se \zeta=1 é crítico; se \zeta>1 é supercrítico (overdamped) — não oscila.
  • Calculando c_{\text{crit}} e \zeta:
    c_{\text{crit}} = 2\cdot 2{,}20 \cdot 10{,}6571 \approx 46{,}89\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
\zeta = \frac{c}{c_{\text{crit}}} \approx \frac{13{,}35}{46{,}89} \approx 0{,}285.
Como \zeta \approx 0{,}285 < 1, o sistema é subcrítico (ou seja, amortecimento fraco: oscilações amortecidas).

Resposta

(a) \omega_0 \approx 10{,}657\\ \mathrm{rad/s}
(b) \omega_d \approx 10{,}2165\\ \mathrm{rad/s}
(c) c \approx 13{,}35\\ \mathrm{N\cdot s/m}
(d) subcrítico (amortecimento fraco, \zeta\approx0{,}285)

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