01(\mathbf{5 , 0}) - Uma onda plana em y no ar ( \mu=\mu_{0}, \varepsilon=\varepsilon_{0} e \sigma=0 ) se propaga na direção x a 10 MHz .
(a) Escreva a expressão para \mathbf{E}(x, t), considerando que a onda possua uma amplitude de 10 \mathrm{~V} / \mathrm{m}.
(b) Qual é a amplitude da onda, freqüência, constante de fase, comprimento de onda e velocidade de propagação?
(c) Determine \mathbf{H}(x, t).

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética plana no ar ( \mu=\mu_0, \varepsilon=\varepsilon_0, \sigma=0) que se propaga no sentido +x, com frequência f=10 MHz e amplitude de 10 V/m, polarizada ao longo de y. Precisamos (a) escrever \mathbf{E}(x,t), (b) achar amplitude, frequência, constante de fase, comprimento de onda e velocidade, e (c) determinar \mathbf{H}(x,t). Vamos usar a forma geral da solução da equação de onda em meio livre e a relação entre \mathbf{E} e \mathbf{H} via impedância característica \eta_0.

Passo 2

A forma geral de uma onda plana propagando em +x é
\mathbf{E}(x,t)=E_0\,\hat{y}\cos\bigl(\omega t - kx + \varphi\bigr).
Como não foi dada fase inicial, tomo \varphi=0. Substituindo E_0=10 V/m, fica
\mathbf{E}(x,t)=10\,\hat{y}\cos\bigl(\omega t - kx\bigr)\,\mathrm{V/m}.

Passo 3

Agora calculo os parâmetros da onda em ar livre:
Velocidade de fase
v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=3\times10^8\;\mathrm{m/s}.
Frequência
f=10\;\mathrm{MHz}\quad\Longrightarrow\quad \omega=2\pi f=2\pi\times10^7\;\mathrm{rad/s}.
Constante de fase
k=\frac{\omega}{v}=\frac{2\pi\times10^7}{3\times10^8}=0{,}2094\;\mathrm{rad/m}.
Comprimento de onda
\lambda=\frac{2\pi}{k}\approx30\;\mathrm{m}.

Passo 4

Em meio livre a relação entre os campos é
\mathbf{H}=\frac{1}{\eta_0}\,\hat{k}\times\mathbf{E},
com \eta_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}=377\;\Omega e \hat{k}=\hat{x}. Como \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z},
\mathbf{H}(x,t) =\frac{10}{377}\,\hat{z}\,\cos\bigl(\omega t - kx\bigr)\;\mathrm{A/m} \approx0{,}0265\,\hat{z}\cos\bigl(\omega t - kx\bigr)\;\mathrm{A/m}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(x,t)=10\,\hat{y}\cos\bigl(\omega t - kx\bigr)\;\mathrm{V/m}.
(b) E_0=10\;\mathrm{V/m},\quad f=10\;\mathrm{MHz},\quad \omega=2\pi\times10^7\;\mathrm{rad/s},\quad k=0{,}2094\;\mathrm{rad/m},\quad \lambda=30\;\mathrm{m},\quad v=3\times10^8\;\mathrm{m/s}.
(c) \displaystyle \mathbf{H}(x,t)=0{,}0265\,\hat{z}\cos\bigl(\omega t - kx\bigr)\;\mathrm{A/m}.

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