\mathbf{0 5}(\mathbf{2 , 0}) - Uma onda plana se propaga na água do mar na direção +z e seu campo elétrico está descrito por \mathbf{E}=\mathbf{x} 2500 \cos \left(10^{7} \pi \mathrm{t}\right) \mathrm{mV} / \mathrm{m} no plano z=0.
Os parâmetros constitutivos da água do mar são \varepsilon_{\mathrm{r}}=72, \mu=1, \sigma=4 \mathrm{~S} / \mathrm{m}
a) Determine: 1) o estado de polarização da onda, 2) A constante de atenuação, 3) a impedância intrínseca, 4) a velocidade de fase, 5) o comprimento de onda, e 6) a profundidade de penetração (skin depth).
b) Escreva as expressões para \mathbf{E}(z, t) e \mathbf{H}(z, t).
c) Encontre a distância z_{1} na qual a amplitude do campo elétrico é igual a 10 \% de seu valor em z=0.
d) Encontre as densidades de potência (irradiâncias) nos planos z=0 \mathrm{e} z=\delta.
e) Encontre a profundidade de penetração (skin depth) na frequência de 100 GHz.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda plana que se propaga no sentido +z numa água de mar cujos parâmetros são \varepsilon_r=72, \mu_r=1 (logo \mu=\mu_0) e \sigma=4\\ \mathrm S/m. No plano z=0 temos
\mathbf{E}(0,t)=\hat x\;2500\cos\bigl(10^7\pi\,t\bigr)\\ \mathrm{mV/m}.
Vamos achar:
1) estado de polarização,
2) constante de atenuação \alpha,
3) impedância intrínseca \eta,
4) velocidade de fase v_p,
5) comprimento de onda \lambda,
6) profundidade de penetração \delta.
Depois escrever \mathbf E(z,t) e \mathbf H(z,t), achar z_1 tal que E(z_1)=0{,}1E_0, calcular as densidades de potência nos planos z=0 e z=\delta e, por fim, a profundidade de penetração a 100 GHz.

Passo 2

Estado de polarização: o campo elétrico está sempre ao longo de \hat x (não há componente em y nem em z). Logo é polarização linear na direção x.

Passo 3

Angular frequência e parâmetro de perda:
\omega=10^7\pi\\ \mathrm{rad/s},\quad \varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0=72\cdot8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm F/m,\quad \mu=\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm H/m.
O parâmetro \dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\approx200\gg1, então o meio comporta-se como bom condutor e podemos usar a aproximação
\alpha\approx\beta\approx\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}.
Numericamente
\alpha\approx\sqrt{\frac{(10^7\pi)(4\pi\times10^{-7})(4)}{2}}\approx8{,}89\\ \mathrm{Np/m}.

Passo 4

Impedância intrínseca: em geral
\eta=\sqrt{\frac{j\,\omega\,\mu}{\sigma+j\,\omega\,\varepsilon}}.
Para \sigma\gg\omega\varepsilon fica
\eta\approx(1+j)\sqrt{\frac{\omega\,\mu}{2\,\sigma}} \approx(1+j)\,2{,}22\\ \Omega,
ou seja \lvert\eta\rvert\approx3{,}14\\ \Omega, \angle45^\circ.

Passo 5

Velocidade de fase e comprimento de onda:
v_p=\frac{\omega}{\beta}\approx\frac{10^7\pi}{8{,}89}\approx3{,}53\times10^6\\ \mathrm{m/s},
\lambda=\frac{2\pi}{\beta}\approx\frac{2\pi}{8{,}89}\approx0{,}707\\ \mathrm m.
Profundidade de penetração (skin depth):
\delta=\frac{1}{\alpha}\approx\frac{1}{8{,}89}\approx0{,}1125\\ \mathrm m.

Passo 6

Expressões de \mathbf E(z,t) e \mathbf H(z,t): convertendo 2500\\ \mathrm{mV/m}=2{,}5\\ \mathrm{V/m} e \dfrac{2{,}5}{3{,}14}\approx0{,}796\\ \mathrm{A/m}, temos
\mathbf{E}(z,t) =\hat x\;2{,}5\,e^{-8{,}89\,z}\cos\bigl(10^7\pi\,t-8{,}89\,z\bigr)\\ \mathrm{V/m},
\mathbf{H}(z,t) =\hat y\;0{,}796\,e^{-8{,}89\,z}\cos\bigl(10^7\pi\,t-8{,}89\,z\bigr)\\ \mathrm{A/m}.

Passo 7

Distância z_1 para E(z_1)=0{,}1\,E_0:
e^{-\alpha z_1}=0{,}1 \quad\Longrightarrow\quad z_1=\frac{\ln(10)}{\alpha}\approx\frac{2{,}3026}{8{,}89}\approx0{,}259\\ \mathrm m.

Passo 8

Densidade de potência média (Poynting):
\langle S(z)\rangle =\frac{E_0^2}{2\lvert\eta\rvert}\,e^{-2\alpha z}.
Usando E_0=2{,}5\\ \mathrm{V/m} e \lvert\eta\rvert=3{,}14\\ \Omega:
\langle S(0)\rangle\approx\frac{2{,}5^2}{2\cdot3{,}14}\approx0{,}995\\ \mathrm{W/m^2},
\langle S(\delta)\rangle =0{,}995\,e^{-2}\approx0{,}995\times0{,}135\approx0{,}134\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 9

Profundidade de penetração a 100\\ \mathrm{GHz}: agora \sigma/(\omega\varepsilon)\ll1 (meio quase dielétrico), usa-se
\alpha\approx\frac{\sigma}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \quad\Longrightarrow\quad \delta=\frac{1}{\alpha} =\frac{2}{\sigma}\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}} \approx0{,}0113\\ \mathrm m.

Resposta

(a)
1) Polarização linear em x.
2) \alpha\approx 8{,}89\\ \mathrm{Np/m}. 3) \eta\approx 3{,}14\angle 45^\circ\\ \Omega. 4) v_p\approx 3{,}53\times 10^6\\ \mathrm{m/s}. 5) \lambda\approx 0{,}707\\ \mathrm{m}. 6) \delta\approx 0{,}1125\\ \mathrm{m}.
(b)
\mathbf{E}(z,t)=\hat x\,2{,}5\,e^{-8{,}89z}\cos\!\bigl(10^7\pi t-8{,}89z\bigr)\\ \mathrm{V/m},\n
\mathbf{H}(z,t)=\hat y\,0{,}796\,e^{-8{,}89z}\cos\!\bigl(10^7\pi t-8{,}89z\bigr)\\ \mathrm{A/m}.
(c) z_1\approx 0{,}259\\ \mathrm{m}.
(d) \langle S(0)\rangle\approx 0{,}995\\ \mathrm{W/m^2},\quad \langle S(\delta)\rangle\approx 0{,}134\\ \mathrm{W/m^2}.
(e) \delta_{100\mathrm{GHz}}\approx 0{,}0113\\ \mathrm{m}.

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