04(\mathbf{2 , 0}) - Na superfície de uma placa espessa de poliestireno com os parâmetros: \sigma=10^{-16} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \varepsilon_{\mathrm{r}}=2,56, e ocupando \mathrm{z}>0, temos o campo elétrico \mathbf{E}(0, t)=\mathbf{y} 10 \cos \left(3 \pi \times 10^{7} t\right) \mathrm{V} / \mathrm{m}. Determine, para \mathrm{z}>0,
(a) \mathbf{E}(z, t),
(b) \mathbf{H}(z, t),
(c) \mathbf{P}_{\text {ave. }}

Passo 1

O enunciado descreve uma onda plana que incide na placa de poliestireno (região z>0) com condutividade \sigma=10^{-16}\,\mathrm{S/m}, permitividade relativa \varepsilon_r=2,56 e permeabilidade \mu\approx\mu_0. Em z=0 o campo elétrico é
\mathbf{E}(0,t)=\hat{\mathbf{y}}\,10\cos\bigl(3\pi\times10^{7}t\bigr)\,\mathrm{V/m}.
O objetivo é achar, para z>0: (a) \mathbf{E}(z,t), (b) \mathbf{H}(z,t) e (c) o vetor de Poynting médio \mathbf{P}_{\text{ave}}. Para isso vamos usar a teoria de ondas planas em meio dielétrico levemente condutor: calculamos a constante de propagação \gamma=\alpha+j\beta, a impedância característica \eta, e escrevemos os campos amortecidos no eixo z.

Passo 2

Calculamos a constante de propagação
\gamma = j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\,\sqrt{1+j\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}} \approx \alpha + j\beta,
onde \omega=3\pi\times10^7\\ \mathrm{rad/s}, \varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0 e \mu\approx\mu_0. Como \displaystyle\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\approx4{,}7\times10^{-14}\ll1, usamos a aproximação para meio quase lossless:
\alpha\approx\frac{\sigma}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \approx9{,}4\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{-1}}, \qquad \beta\approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon} \approx0{,}503\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 3

O campo elétrico amortecido é
\mathbf{E}(z,t) =\hat{\mathbf{y}}\,E_0\,e^{-\alpha z}\cos\!\bigl(\omega t-\beta z\bigr),
com E_0=10\\ \mathrm{V/m}, \alpha e \beta obtidos no passo anterior. Logo
\mathbf{E}(z,t) =\hat{\mathbf{y}}\,10\,e^{-9{,}4\times10^{-9}\,z} \cos\!\bigl(3\pi\times10^7\,t-0{,}503\,z\bigr)\,\mathrm{V/m}.

Passo 4

A impedância característica do meio é
\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\approx \frac{377\\ \Omega}{\sqrt{\varepsilon_r}} =\frac{377}{1{,}6}\approx235{,}6\\ \Omega.
Para onda viajando ao longo de +\hat{\mathbf{z}} com \mathbf{E}\parallel\hat{\mathbf{y}}, o campo magnético é
\mathbf{H}(z,t) =\frac{1}{\eta}\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}(z,t) =\hat{\mathbf{x}}\Bigl(-\frac{10}{235{,}6}\Bigr) e^{-\alpha z}\cos\!\bigl(\omega t-\beta z\bigr)\,\mathrm{A/m},
ou seja
\mathbf{H}(z,t) =-\hat{\mathbf{x}}\,0{,}0424\,e^{-9{,}4\times10^{-9}\,z} \cos\!\bigl(3\pi\times10^7\,t-0{,}503\,z\bigr)\,\mathrm{A/m}.

Passo 5

O vetor de Poynting médio é
\mathbf{P}_{\text{ave}}(z) =\tfrac12\Re\bigl\{\mathbf{E}\times\mathbf{H}^*\bigr\} =\hat{\mathbf{z}}\, \frac{E_0^2}{2\,\eta}\,e^{-2\alpha z}.
Substituindo E_0=10\\ \mathrm{V/m} e \eta=235{,}6\\ \Omega,
\mathbf{P}_{\text{ave}}(z) =\hat{\mathbf{z}}\, \frac{10^2}{2\times235{,}6}\,e^{-2\,(9{,}4\times10^{-9})\,z} \approx\hat{\mathbf{z}}\, 0{,}212\,e^{-1{,}88\times10^{-8}z}\\ \mathrm{W/m^2}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(z,t) =\hat{\mathbf{y}}\,10\,e^{-9{,}4\times10^{-9}\,z} \cos\!\bigl(3\pi\times10^7\,t-0{,}503\,z\bigr)\,\mathrm{V/m}.
(b) \displaystyle \mathbf{H}(z,t) =-\hat{\mathbf{x}}\,0{,}0424\,e^{-9{,}4\times10^{-9}\,z} \cos\!\bigl(3\pi\times10^7\,t-0{,}503\,z\bigr)\,\mathrm{A/m}.
(c) \displaystyle \mathbf{P}_{\text{ave}}(z) =\hat{\mathbf{z}}\,0{,}212\,e^{-1{,}88\times10^{-8}z}\\ \mathrm{W/m^2}.

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