[01] (1,5) Em uma mesa horizontal está um corpo de massa 1 Kg preso a uma mola com constante de elasticidade k=9 N / m, em um meio viscoso que exerce sobre a massa uma força de resistência proporcional ao módulo da velocidade e direção contraria à da velocidade. A constante de proporcionalidade é c=6 Nm / s. Sobre a massa também age uma força externa F(t)=6 t e^3 t, onde t é o tempo. Em t=0, o corpo se encontra na origem e sua velocidade é 1 m / s. Determine a posição x(t) do corpo.

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador amortecido e forçado de massa m=1, constante de amortecimento c=6 e constante elástica k=9, submetido à força externa F(t)=6t e^3t. A equação do movimento é
x''+6x'+9x=6t e^3t,
com condições iniciais
x(0)=0, x'(0)=1
Vamos resolver essa EDO linear de 2º ordem usando solução homogênea mais particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
x''+6x'+9x=0
O polinômio característico é
r^2+6r+9=(r+3)^2=0
com raiz dupla r=-3. Logo a solução homogênea é
xh(t)=l(C1+C2,tr)e^-3t

Passo 3

Buscamos uma solução particular da forma
xp(t)=e^3tl(A,t+Br)
pois o lado direito é 6t e^3t e +3 não é raiz do característico. Calculamos
xp' = e^3tl[3(A,t+B)+Ar] = e^3tl(3A,t+3B+Ar),
xp'' = e^3tl[3(3A,t+3B+A)+3Ar] = e^3tl(9A,t+9B+6Ar)
Substituindo em x''+6x'+9x obtemos
L[xp]=e^3tl(36A,t+36B+12Ar)
que deve ser igual a 6t e^3t. Assim
36A=6Longrightarrow A=tfrac16,
36B+12A=0Longrightarrow 36B+2=0Longrightarrow B=-tfrac118
Portanto
xp(t)=e^3tl(tfrac16,t-tfrac118r)

Passo 4

A solução geral é
x(t)=xh(t)+xp(t) =(C1+C2,t)e^-3t +e^3tl(tfrac16,t-tfrac118r)

Passo 5

Usamos x(0)=0 e x'(0)=1. Primeiro
x(0)=C1 -tfrac118=0Longrightarrow C1=tfrac118
Para x'(t) derivamos e avaliamos em t=0, obtendo
x'(0)=C2-3C1=1 Longrightarrow C2-3l(tfrac118r)=1 Longrightarrow C2=tfrac76

Resposta

boxed x(t) =l(tfrac118+tfrac76,tr)e^-3t ;+; l(tfrac16,t-tfrac118r)e^3t

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