[01]
Em uma mesa horizontal está um corpo de massa 1 Kg preso a uma mola com constante de elasticidade
, em um meio viscoso que exerce sobre a massa uma força de resistência proporcional ao módulo da velocidade e direção contraria à da velocidade. A constante de proporcionalidade é
. Sobre a massa também age uma força externa
, onde t é o tempo. Em
, o corpo se encontra na origem e sua velocidade é
. Determine a posição
do corpo.
Passo 1
O enunciado descreve um oscilador amortecido e forçado de massa
, constante de amortecimento
e constante elástica
, submetido à força externa
. A equação do movimento é
com condições iniciais
Vamos resolver essa EDO linear de 2º ordem usando solução homogênea mais particular.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
O polinômio característico é
com raiz dupla
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Buscamos uma solução particular da forma
pois o lado direito é
e
não é raiz do característico. Calculamos
Substituindo em
obtemos
que deve ser igual a
. Assim
Portanto
Passo 4
A solução geral é
Passo 5
Usamos
e
. Primeiro
Para
derivamos e avaliamos em
, obtendo