O colchão de uma cama de água possui 2,00 \mathrm{~m} de comprimento por 2,00 \mathrm{~m} de largura e 30,0 \mathrm{~cm} de profundidade.
a) Encontre o peso da água no colchão.
b) Encontre a pressão exercida pela cama de água no piso quando ela repousa em sua posição normal. Suponha que toda a superfície inferior da cama faça contato com o piso.
c) Se a cama de agua for substituída por uma normal de 1333 N , suportada por quatro pernas, onde cada perna possui seção transversal de raio 2,00 \mathrm{~cm}. Que pressão essa cama exerce sobre o piso?
(R: (a) 11760 N ; (b) 2940 Pa ; (c) 265192 Pa ).

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Comprimento da cama: \,l=2,00\\ \mathrm{m}.
  • Largura da cama: \,w=2,00\\ \mathrm{m}.
  • Profundidade (altura da coluna de água): \,h=30,0\\ \mathrm{cm}=0,300\\ \mathrm{m}.
  • Densidade da água (valor padrão que vamos usar): \,\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Aceleração da gravidade (valor padrão): \,g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}.
O enunciado pede:
(a) encontrar o peso da água no colchão (isto é, a força peso W causada pela massa de água);
(b) encontrar a pressão que a cama de água exerce no piso quando toda a superfície inferior está em contato com o piso;
(c) se substituirmos por uma cama normal que pesa \,1333\\ \mathrm{N} e é apoiada por quatro pernas, cada perna com raio \,r=2,00\\ \mathrm{cm}=0,0200\\ \mathrm{m}, encontrar a pressão que essa cama exerce sobre o piso.

Passo 2

Calcular o volume de água no colchão. Explicação: o colchão tem forma de paralelepípedo retangular, então o volume é o produto do comprimento, largura e altura.
Fórmula do volume:
V = l \cdot w \cdot h.
Aplicando os números:
V = 2,00 \cdot 2,00 \cdot 0,300 = 1,20\\ \mathrm{m^3}.
Interpretação didática: o volume \,V é a quantidade de espaço ocupado pela água; é medido em metros cúbicos.

Passo 3

Calcular a massa de água usando a densidade. Explicação: densidade relaciona massa e volume pela fórmula \,m=\rho V. Aqui \rho é massa por unidade de volume (kg por metro cúbico).
Fórmula da massa:
m = \rho \cdot V.
Aplicando os números:
m = 1000 \cdot 1,20 = 1200\\ \mathrm{kg}.
Didática: isso quer dizer que há \,1200\\ \mathrm{kg} de água dentro do colchão.

Passo 4

Calcular o peso (força peso) da água. Explicação: o peso é a força que a gravidade exerce sobre a massa e é dada por \,W = m g, onde g é a aceleração da gravidade.
Fórmula do peso:
W = m \cdot g.
Aplicando os números:
W = 1200 \cdot 9,80 = 11760\\ \mathrm{N}.
Comentário rápido e encorajador: pronto — essa é a resposta do item (a). É só multiplicar massa por g.

Passo 5

Calcular a pressão que a cama de água exerce no piso. Explicação: pressão média exercida por uma força distribuída é \,p = \dfrac{F}{A}, onde F é a força normal (aqui o peso W) e A é a área de contato com o piso. Unidade: Pascal, 1\\ \mathrm{Pa}=1\\ \mathrm{N/m^2}.
A área da superfície inferior do colchão (retângulo) é:
A = l \cdot w = 2,00 \cdot 2,00 = 4,00\\ \mathrm{m^2}.
Portanto a pressão é:
p = \frac{W}{A} = \frac{11760}{4,00} = 2940\\ \mathrm{Pa}.
Didática: distribuir um peso grande sobre uma área grande diminui a pressão; por isso colchões de água não afundam o piso facilmente.

Passo 6

Calcular a pressão exercida pela cama normal apoiada em quatro pernas. Explicação passo a passo:
  1. Força total suportada pelas pernas: \,F=1333\\ \mathrm{N}. Assume-se que o peso se distribui igualmente entre as quatro pernas (hipótese natural se o colchão está em equilíbrio), então cada perna suporta \,F/4 — porém para calcular a pressão total sobre o piso é equivalente usar a força total dividida pela área total das quatro bases.
  2. Área da seção de uma perna (círculo de raio r):
A_{\text{perna}} = \pi r^{2}.
Com r=0,0200\\ \mathrm{m}:
A_{\text{perna}} = \pi \cdot (0,0200)^{2} = \pi \cdot 4,00\cdot10^{-4} = 4,00\pi\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  1. Área total das quatro pernas:
A_{\text{total}} = 4 \cdot A_{\text{perna}} = 4 \cdot 4,00\pi\cdot10^{-4} = 1,60\pi\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
Agora avaliar numericamente usando \pi\approx3,1416:
A_{\text{perna}} \approx 1,2566\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m^2}, \qquad A_{\text{total}} \approx 5,0265\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
  1. Pressão exercida pela cama normal:
p = \frac{F}{A_{\text{total}}} = \frac{1333}{5,0265\cdot10^{-3}} \approx 265192\\ \mathrm{Pa}.
Didática final curta: note que embora o peso seja bem menor que o da cama de água, a área de contato das pernas é muito pequena, então a pressão é bem maior.

Resposta

(a) 11760\\ \mathrm{N}
(b) 2940\\ \mathrm{Pa}
(c) 265192\\ \mathrm{Pa}

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