A barra é feita de aço A992 e tem um diâmetro de
. Se a barra tem um comprimento quando a mola é comprimida 0,5 in e a temperatura da barra é
, determine a força n quando a temperatura alcança
. Dado
.
a)
431
lb
b)
472
lb
c)
510
lb
d)
539
lb
e)
550
lb
| a) | 431 | lb |
| b) | 472 | lb |
| c) | 510 | lb |
| d) | 539 | lb |
| e) | 550 | lb |
Passo 1
O enunciado pede: determinar a força
na barra quando a temperatura sobe de
para
. Dados extraídos do enunciado e da figura:
- Diâmetro da barra:
. - Aço A992 com coeficiente de dilatação linear
. - Módulo de Young
(ou , convertido para ). - Entre as placas (distância fixa) há
(valor tomado da figura). - Cada mola tem rigidez
(valor indicado na figura; há uma mola de cada lado, simétrica). - Quando a mola é comprimida
(cada mola, conforme a leitura da figura), a temperatura é . Esse é o estado inicial com compressão por mola em cada mola. - Desejamos a força interna
(que é igual à força em cada mola) no novo estado . - Variação de temperatura:
.
Passo 2
Organização das grandezas úteis e conversões: área da seção transversal da barra
, comprimento inicial da barra
(no estado em
), etc.
- Área da seção circular:
- Distância fixa entre as placas (da figura):
. - Comprimento da barra no estado inicial (quando cada mola está comprimida
):
- Módulo de elasticidade em
: . - Variação de temperatura:
.
Passo 3
Ideia física e equações fundamentais que vamos usar (explicação didática):
- A barra sofre duas contribuições para sua variação de comprimento: dilatação térmica (que, sozinha, alargaria a barra) e deformação mecânica causada pela força interna
. A deformação mecânica numa barra com força axial obedece à lei de Hooke (tensão = deformação): a deformação mecânica é . O sinal negativo indica que uma força compressiva reduz o comprimento. - A dilatação térmica livre seria
(aumenta o comprimento). - A deformação total relativa da barra (variação de comprimento por
) é a soma da dilatação térmica e da deformação mecânica:
- Compatibilidade geométrica com as molas: se a compressão de cada mola no novo estado é
, então o comprimento da barra passou a ser . Assim a variação de comprimento da barra entre os estados é
porque
para cada mola.
- Igualando a expressão da deformação total com a expressão geométrica obtemos a equação para
. Vou agora montar essa equação e resolvê-la passo a passo.
Passo 4
Montagem da equação de compatibilidade (passo a passo algebraico):
Da deformação total:
Da deformação total:
Da geometria/springs:
Igualando:
Agora organizamos os termos para isolar
. Expandindo o lado direito:
Passando os termos que contêm
para o mesmo lado:
Colocando
em evidência:
Finalmente a solução para
é
Passo 5
Substituição numérica (cada passo calculado e explicado): vamos calcular numerador e denominador separadamente.
- Numerador:
Calcule a parte térmica:
Multiplicando por
:
Então
(Esse valor negativo indica que, se a barra se dilata, a soma das compressões das molas diminui; o sinal será tratado pela fração.)
Passo 6
Cálculo do denominador:
.
- Primeiro
:
Calcule o produto
:
Assim
- Agora
. - Portanto o denominador é
Passo 7
Cálculo final da força
: usar a fórmula
Interpretação: o sinal positivo indica que a força compressiva permanece (mas o valor diminuiu ligeiramente em relação ao estado inicial
). Fizemos os cálculos com todas as unidades em polegadas e libras, garantindo consistência.
Passo 8
Verificação rápida de coerência física e numérica (pra te deixar confiante):
- Estado inicial:
. - Depois de aquecer, o comprimento livre da barra aumentaria cerca de
, então as molas têm que relaxar um pouco (a soma das compressões diminui), logo a força diminui ligeiramente — isto é consistente com .