A barra é feita de aço A992 e tem um diâmetro de 0,25 \mathrm{in}. Se a barra tem um comprimento quando a mola é comprimida 0,5 in e a temperatura da barra é \mathrm{T}=40^{\circ} \mathrm{F}, determine a força n quando a temperatura alcança \mathrm{T}=160^{\circ} \mathrm{F}. Dado \alpha=6,6.10^{-6} \mathrm{oF}^{-1} \mathrm{e} \mathrm{E}=29.10^{3} \mathrm{ksi}.
a) 431 lb
b) 472 lb
c) 510 lb
d) 539 lb
e) 550 lb

Passo 1

O enunciado pede: determinar a força n na barra quando a temperatura sobe de \mathrm{T}=40^\circ\mathrm{F} para \mathrm{T}=160^\circ\mathrm{F}. Dados extraídos do enunciado e da figura:
  • Diâmetro da barra: d=0{,}25\\ \mathrm{in}.
  • Aço A992 com coeficiente de dilatação linear \alpha=6{,}6\cdot 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{F}^{-1}.
  • Módulo de Young E=29\cdot 10^{6}\\ \mathrm{psi} (ou 29{,}10^{3}\\ \mathrm{ksi}, convertido para \mathrm{psi}).
  • Entre as placas (distância fixa) há 4\\ \mathrm{ft}=48\\ \mathrm{in} (valor tomado da figura).
  • Cada mola tem rigidez k=1000\\ \mathrm{lb/in} (valor indicado na figura; há uma mola de cada lado, simétrica).
  • Quando a mola é comprimida 0{,}5\\ \mathrm{in} (cada mola, conforme a leitura da figura), a temperatura é T_1=40^\circ\mathrm{F}. Esse é o estado inicial com compressão por mola x_0=0{,}5\\ \mathrm{in} em cada mola.
  • Desejamos a força interna n (que é igual à força em cada mola) no novo estado T_2=160^\circ\mathrm{F}.
  • Variação de temperatura: \Delta T = T_2-T_1 = 120^\circ\mathrm{F}.

Passo 2

Organização das grandezas úteis e conversões: área da seção transversal da barra A, comprimento inicial da barra L_0 (no estado em T_1), etc.
  • Área da seção circular:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}25)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}015625\approx 0{,}0490874\\ \mathrm{in}^2.
  • Distância fixa entre as placas (da figura): D=48\\ \mathrm{in}.
  • Comprimento da barra no estado inicial (quando cada mola está comprimida x_0):
L_0 = D - 2x_0 = 48 - 2(0{,}5)=48-1=47\\ \mathrm{in}.
  • Módulo de elasticidade em \mathrm{psi}: E=29\cdot 10^{6}\\ \mathrm{psi}.
  • Variação de temperatura: \Delta T=120^\circ\mathrm{F}.

Passo 3

Ideia física e equações fundamentais que vamos usar (explicação didática):
  • A barra sofre duas contribuições para sua variação de comprimento: dilatação térmica (que, sozinha, alargaria a barra) e deformação mecânica causada pela força interna n. A deformação mecânica numa barra com força axial n obedece à lei de Hooke (tensão = E\times deformação): a deformação mecânica é \varepsilon_\text{mec} = -\dfrac{n}{AE}. O sinal negativo indica que uma força compressiva reduz o comprimento.
  • A dilatação térmica livre seria \Delta L_\text{th}= \alpha L_0 \Delta T (aumenta o comprimento).
  • A deformação total relativa da barra (variação de comprimento por L_0) é a soma da dilatação térmica e da deformação mecânica:
\frac{\Delta L}{L_0} = \alpha \Delta T - \frac{n}{AE}.
  • Compatibilidade geométrica com as molas: se a compressão de cada mola no novo estado é x, então o comprimento da barra passou a ser L = D - 2x. Assim a variação de comprimento da barra entre os estados é
\Delta L = L - L_0 = -2(x - x_0) = -2\Big(\frac{n}{k} - x_0\Big),
porque n=kx para cada mola.
  • Igualando a expressão da deformação total com a expressão geométrica obtemos a equação para n. Vou agora montar essa equação e resolvê-la passo a passo.

Passo 4

Montagem da equação de compatibilidade (passo a passo algebraico):
Da deformação total:
\Delta L = L_0\Big(\alpha \Delta T - \frac{n}{AE}\Big).
Da geometria/springs:
\Delta L = -2\Big(\frac{n}{k} - x_0\Big).
Igualando:
L_0\Big(\alpha \Delta T - \frac{n}{AE}\Big) = -2\Big(\frac{n}{k} - x_0\Big).
Agora organizamos os termos para isolar n. Expandindo o lado direito:
L_0\alpha \Delta T - \frac{L_0 n}{AE} = -\frac{2n}{k} + 2x_0.
Passando os termos que contêm n para o mesmo lado:
L_0\alpha \Delta T - 2x_0 = \frac{L_0 n}{AE} - \frac{2n}{k}.
Colocando n em evidência:
L_0\alpha \Delta T - 2x_0 = n\Big(\frac{L_0}{AE} - \frac{2}{k}\Big).
Finalmente a solução para n é
n = \frac{L_0\alpha \Delta T - 2x_0}{\dfrac{L_0}{AE} - \dfrac{2}{k}}.

Passo 5

Substituição numérica (cada passo calculado e explicado): vamos calcular numerador e denominador separadamente.
  • Numerador:
L_0\alpha \Delta T - 2x_0 = 47\cdot(6{,}6\cdot 10^{-6})\cdot 120 - 2(0{,}5).
Calcule a parte térmica:
6{,}6\cdot 10^{-6}\cdot 120 = 7{,}92\cdot 10^{-4}.
Multiplicando por 47:
47\cdot 7{,}92\cdot 10^{-4} = 0{,}037224\\ \mathrm{in}.
Então
\text{numerador}=0{,}037224 - 1 = -0{,}962776\\ \mathrm{in}.
(Esse valor negativo indica que, se a barra se dilata, a soma das compressões das molas diminui; o sinal será tratado pela fração.)

Passo 6

Cálculo do denominador: \dfrac{L_0}{AE} - \dfrac{2}{k}.
  • Primeiro \dfrac{L_0}{AE}:
\frac{L_0}{AE}=\frac{47}{(0{,}0490874)(29\cdot 10^{6})}.
Calcule o produto A E:
A E \approx 0{,}0490874\cdot 29\cdot 10^{6}\approx 1{,}423{,}533{,}165.
Assim
\frac{L_0}{AE}\approx \frac{47}{1{,}423{,}533{,}165}\approx 3{,}30102\cdot 10^{-5}.
  • Agora \dfrac{2}{k}=\dfrac{2}{1000}=0{,}002.
  • Portanto o denominador é
3{,}30102\cdot 10^{-5} - 0{,}002 \approx -0{,}0019669898.

Passo 7

Cálculo final da força n: usar a fórmula
n = \frac{-0{,}962776}{-0{,}0019669898}\approx 489{,}47\\ \mathrm{lb}.
Interpretação: o sinal positivo indica que a força compressiva permanece (mas o valor diminuiu ligeiramente em relação ao estado inicial n_0=kx_0=1000\cdot0{,}5=500\\ \mathrm{lb}). Fizemos os cálculos com todas as unidades em polegadas e libras, garantindo consistência.

Passo 8

Verificação rápida de coerência física e numérica (pra te deixar confiante):
  • Estado inicial: n_0=1000\cdot 0{,}5=500\\ \mathrm{lb}.
  • Depois de aquecer, o comprimento livre da barra aumentaria cerca de \Delta L_\text{th}=L_0\alpha\Delta T\approx 0{,}0372\\ \mathrm{in}, então as molas têm que relaxar um pouco (a soma das compressões diminui), logo a força diminui ligeiramente — isto é consistente com 489{,}5\\ \mathrm{lb}<500\\ \mathrm{lb}.

Resposta

489{,}5\\ \text{lb}

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