01 - Uma placa muito grande, uniformemente carregada, feita de plástico, com largura 2a está centrada no plano Z=0. Determine o campo elétrico em todos os pontos devido a esta configuração de cargas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma placa grande de plástico, com carga elétrica distribuída de forma uniforme, e essa placa tem uma largura total de 2a. Ela está centrada no plano Z=0. Nosso objetivo é descobrir qual é o campo elétrico gerado por essa placa em todos os pontos ao redor dela.
Aqui, a matéria que vamos usar é Eletrostática, mais especificamente, o conceito de Campo Elétrico devido a uma Distribuição de Carga contínua. Vamos precisar entender como integrar as contribuições de cada pedacinho da placa para encontrar o campo total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o campo elétrico. O campo elétrico $ \vec{E} $ em um ponto é a força por unidade de carga que uma carga de teste sentiria nesse ponto. Para calcular $ \vec{E} $ devido a uma distribuição contínua de carga, a gente integra a contribuição de cada elemento de carga $ dq $ na placa.

Passo 3

Vamos considerar um ponto $ P $ no espaço onde queremos calcular o campo elétrico. Suponha que esse ponto esteja a uma distância $ z $ acima do centro da placa, ou seja, na direção do eixo $ Z $.

Passo 4

Dividimos a placa em elementos infinitesimais de carga $ dq $. Como a carga está distribuída uniformemente, podemos expressar $ dq $ em termos da densidade superficial de carga $ \sigma $ (carga por unidade de área). Se a largura da placa é dq e ela é muito grande no sentido das outras direções, a densidade superficial de carga é $ \sigma = \frac{Q}{2a \cdot A} $, onde $ Q $ é a carga total e $ A $ é a área infinita, mas para simplificação, vamos considerar uma densidade superficial $ \sigma $ constante.

Passo 5

A distância do elemento de carga $ dq $ até o ponto $ P $ é $ r = \sqrt{x^2 + z^2} $, onde $ x $ é a coordenada ao longo da largura da placa. A contribuição do campo elétrico desse elemento no ponto $ P $ tem magnitude $ dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} $.

Passo 6

Como a placa é simétrica no plano $ Z=0 $, as componentes horizontais do campo vão se cancelar devido à simetria. Portanto, só precisamos considerar a componente vertical $ E_z $. A componente vertical é $ dE_z = dE \cdot \frac{z}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq \cdot z}{(x^2 + z2){3/2}} $.

Passo 7

Substituindo $ dq = \sigma , dx $, temos:
dq = sigma , dx

Passo 8

Para encontrar o campo total $ E_z $, integramos $ dE_z $ de $ x = -a $ até $ x = a $:
Ez

Passo 9

Resolvendo a integral:
Avaliada de $ -a $ a $ a $:
Simplificando:
integral dx(x^2 + z^2)^3/2 = xz^2 raizx^2 + z^2

Resposta

O campo elétrico gerado pela placa em um ponto a uma distância $ z $ do centro é dado por
z

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