Um anel de raio a, com centro na origem e o eixo coincidindo com o eixo dos x, tem uma carga total Q. Determine o valor de Ex em x=2 a.

Passo 1

Vamos lá! Temos um anel com raio $ a $, centralizado na origem do sistema de coordenadas, e com uma carga total $ Q $. Queremos descobrir o valor do campo elétrico na direção dos $ x $ no ponto $ x = 2a $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga simétrica como um anel carregado.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por um anel de carga. Devido à simetria do problema, o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo do anel (no caso, o eixo dos $ x $) terá apenas uma componente nessa direção, já que as componentes perpendiculares se cancelam.
A expressão para o campo elétrico no eixo de um anel de carga é dada por:
x
onde:
  • $ E_x $ é a componente do campo elétrico na direção dos $ x $,
  • $ Q $ é a carga total do anel,
  • $ a $ é o raio do anel,
  • $ x $ é a distância ao longo do eixo dos $ x $ onde queremos calcular o campo,
  • $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Substituindo $ x = 2a $ na fórmula, temos:
x = 2a
Simplificando dentro do denominador:
Ex = 14pi varepsilon0 cdot Q cdot 2a( (2a)^2 + a^2 )^3/2
Portanto:
(2a)^2 + a^2 = 4a^2 + a^2 = 5a^2

Passo 4

Vamos simplificar mais a expressão:
(5a^2)^3/2 = 5^3/2 cdot a^3 = 5raiz5 cdot a^3
Agora, substituindo de volta:
Ex = 14pi varepsilon0 cdot 2Qa5raiz5 cdot a^3 = 2Q4pi varepsilon0 cdot 5raiz5 cdot a^2 = Q10pi varepsilon0 raiz5 cdot a^2

Resposta

O campo elétrico na direção dos $ x $ em $ x = 2a $ é dado por:
x

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