Um anel de raio a, com centro na origem e o eixo coincidindo com o eixo dos
, tem uma carga total
. Determine o valor de
em
.
Passo 1
Vamos lá! Temos um anel com raio $ a $, centralizado na origem do sistema de coordenadas, e com uma carga total $ Q $. Queremos descobrir o valor do campo elétrico na direção dos $ x $ no ponto $ x = 2a $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga simétrica como um anel carregado.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por um anel de carga. Devido à simetria do problema, o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo do anel (no caso, o eixo dos $ x $) terá apenas uma componente nessa direção, já que as componentes perpendiculares se cancelam.
A expressão para o campo elétrico no eixo de um anel de carga é dada por:
onde:
- $ E_x $ é a componente do campo elétrico na direção dos $ x $,
- $ Q $ é a carga total do anel,
- $ a $ é o raio do anel,
- $ x $ é a distância ao longo do eixo dos $ x $ onde queremos calcular o campo,
- $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Substituindo $ x = 2a $ na fórmula, temos:
Simplificando dentro do denominador:
Portanto:
Passo 4
Vamos simplificar mais a expressão:
Agora, substituindo de volta:
Resposta
O campo elétrico na direção dos $ x $ em $ x = 2a $ é dado por: