01-1,2 Pontos) Um trocador de calor é utilizado para aquecer leite, um fluido essencial em processos industriais. Seu objetivo é elevar a temperatura do leite de uma temperatura inicial de entrada até uma temperatura final de saída antes de seu tratamento térmico.
O leite é aquecido por vapor saturado, que entra no trocador de calor a uma temperatura (Tvap). Os dados a seguir são únicos e específicos para cada aluno e estão na Tabela abaixo:
✓ Vazāo Volumétrica de Leite (Qleite): em L / h
✓ Calor Específico Médio do Leite ( \mathbf{C}_{\mathbf{p}} ): em J / kg K
✓ Temperatura Inicial do Leite antes do trocador de calor (T IN): em { }^{\circ} \mathrm{C}
✓ Temperatura Final do Leite depois do trocador de calor (Tout): em { }^{\circ} \mathrm{C}
✓ Temperatura do Vapor Saturado (Tvap): em { }^{\circ} \mathrm{C}
✓ Densidade Média do Leite (pleite): em g / cm { }^{\mathbf{3}}
✓ Custo Operacional do Vapor (C { }_{\text {vapor }} ): em R$ / ton de vapor
ALUNO Qleite (L / h) Cp ( \mathrm{J} / \mathrm{kg} \mathrm{K} ) Tin \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) Tout \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) Tvap \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) PLEITE \boldsymbol{(} \mathbf{g} \boldsymbol{/} \mathbf{c m}^{\mathbf{3}} \boldsymbol{)} Cvapor (R$ / ton vapor)
1 2.850 3.745 4,2 67,5 145 1,029 59
2 12.600 3.215 6,8 53,9 132 1,041 48
3 7.950 3.605 9,4 64,1 150 1,033 61
4 19.300 3.485 11,2 58,7 138 1,044 42
5 4.250 3.275 7,9 69,3 125 1,026 37
6 22.800 3.690 12,6 55,2 155 1,039 64
7 10.450 3.520 5,7 62,8 141 1,031 53
8 15.200 3.335 14,1 50,6 134 1,027 46
9 6.100 3.760 10,5 66,4 152 1,043 58
10 1.950 3.410 8,3 59,7 128 1,025 35
11 24.600 3.780 3,9 68,1 149 1,045 63
Com base nos seus dados exclusivos, resolva:
a) Calcule a taxa de calor transferida (em kW) para o leite.
b) Determine a vazão mássica de vapor (em ton / hora) necessária.
c) Determine o custo operacional, considerando apenas com o vapor (em \mathbf{R} \boldsymbol{\} \mathbf{~ m}^{\mathbf{3}}$ de leite).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que vou usar (peguei estes valores da Tabela para o ALUNO 1):
  • O enunciado pede:
    • (a) calcular a taxa de calor transferida para o leite (em kW);
    • (b) determinar a vazão mássica de vapor necessária (em ton/h);
    • (c) determinar o custo operacional apenas do vapor (em R$ por m³ de leite).
  • Dados do ALUNO 1 (retirados da Tabela):
    • Vazão volumétrica do leite: \dot V_{\text{leite}} = 2{,}850\\ \text{L/h}.
    • Calor específico médio do leite: C_p = 3{,}745 (valor fornecido na tabela).
    • Temperatura de entrada do leite: T_{\text{in}} = 4{,}2\\ ^\circ\text{C}.
    • Temperatura de saída do leite: T_{\text{out}} = 67{,}5\\ ^\circ\text{C}.
    • Temperatura do vapor saturado: T_{\text{vap}} = 145\\ ^\circ\text{C}.
    • Densidade média do leite: \rho_{\text{leite}} = 1{,}029\\ \text{g/cm}^3.
    • Custo do vapor: C_{\text{vapor}} = 59\\ \text{R\$ / ton}.
Observações importantes que vou usar:
  • A tabela fornece C_p numérico compatível com valores típicos de 3{,}7 a 3{,}8 kJ/kg·K para leite. Para obter unidades coerentes no balanço energético vou interpretar o número fornecido como C_p=3{,}745\\ \text{kJ/kg·K} e convertê-lo para joule por quilograma por kelvin: C_p=3{,}745\times10^{3}\\ \text{J/kg·K}. Estou explicitando isso porque os cálculos de energia exigem unidades SI (J, s, kg).
  • Para calcular a vazão de vapor vou usar a energia de condensação (entalpia latente). Como não foram fornecidos valores de entalpia saturada na tabela, vou aproximar a entalpia de vaporização por condensação da água por h_{fg}\approx 2{,}257\times10^{6}\\ \text{J/kg} (valor típico à ordem de grandeza; essa é uma aproximação comum em exercícios quando não há tabela de vapor).

Passo 2

Converter unidades e calcular a vazão mássica do leite (passo a passo, sem pular nada).
  1. Converter a vazão volumétrica de \text{L/h} para \text{m}^3/\text{h}:
\dot V_{\text{leite}} = 2{,}850\\ \text{L/h} = 2{,}850\times10^{-3}\\ \text{m}^3/\text{h}.
  1. Converter \text{m}^3/\text{h} para \text{m}^3/\text{s} (dividir por 3600):
\dot V_{\text{leite}} = \frac{2{,}850\times10^{-3}}{3600}\\ \text{m}^3/\text{s} = 7{,}916666\ldots\times10^{-7}\\ \text{m}^3/\text{s}.
  1. Converter a densidade do leite de \text{g/cm}^3 para \text{kg/m}^3. Sabe-se que 1\\ \text{g/cm}^3 = 1000\\ \text{kg/m}^3. Assim:
\rho_{\text{leite}} = 1{,}029\\ \text{g/cm}^3 = 1{,}029\times10^{3}\\ \text{kg/m}^3 = 1029\\ \text{kg/m}^3.
  1. Calcular a vazão mássica do leite em \text{kg/s} usando \dot m=\rho\dot V:
\dot m_{\text{leite}} = 1029\cdot 7{,}916666\ldots\times10^{-7} = 8{,}145625\times10^{-4}\\ \text{kg/s}.
(Esse número é pequeno porque a vazão volumétrica de \,2{,}850\\ \text{L/h} é pequena.)

Passo 3

Preparar os termos da equação de calor e calcular \Delta T e C_p em SI.
  1. Variação de temperatura do leite:
\Delta T = T_{\text{out}}-T_{\text{in}} = 67{,}5-4{,}2 = 63{,}3\\ \text{K}.
  1. Converter C_p para \text{J/kg·K} (conforme observação no Passo 1):
C_p = 3{,}745\\ \text{kJ/kg·K} = 3{,}745\times10^{3}\\ \text{J/kg·K}.
Explicação rápida da fórmula que vamos usar:
  • A taxa de calor necessária para aquecer um fluido é dada por
\dot Q = \dot m\; C_p\; \Delta T,
onde \dot Q é em \text{J/s}=\text{W}, \dot m em \text{kg/s}, C_p em \text{J/kg·K} e \Delta T em K. Essa fórmula vem do balanço de energia: energia necessária por segundo = massa por segundo × energia por massa e por grau × número de graus.

Passo 4

Calcular numericamente a taxa de calor transferida para o leite e converter para kW.
Usando os valores calculados:
\dot Q = (8{,}145625\times10^{-4})\cdot(3{,}745\times10^{3})\cdot(63{,}3)\\ \text{J/s}.
Agora faço as multiplicações em etapas para não pular nada:
  1. C_p\Delta T = 3{,}745\times10^{3}\cdot 63{,}3 = 237{,}058{,}5\\ \text{J/kg}.
  2. Multiplicando por \dot m:
\dot Q = 8{,}145625\times10^{-4}\cdot 237{,}058{,}5 = 193{,}106\\ \text{J/s} = 193{,}106\\ \text{W}.
  1. Converter para kW (dividir por 1000):
\dot Q = 0{,}193106\\ \text{kW}\approx 0{,}193\\ \text{kW}.
Comentário motivador: é um valor pequeno porque a vazão de leite dada é muito baixa; o método é o mesmo para vazões maiores.

Passo 5

Determinar a vazão mássica de vapor necessária (explicando o raciocínio físico).
  • Raciocínio: o vapor saturado entra, condensa no trocador depositando sua entalpia latente no leite. Assumimos que a energia transferida para o leite vem essencialmente da condensação do vapor, portanto:
\dot Q = \dot m_{\text{vap}}\; h_{fg},
onde \dot m_{\text{vap}} é a vazão mássica de vapor em \text{kg/s} e h_{fg} é a entalpia de vaporização (energia liberada por kg de vapor condensado), em \text{J/kg}.
  • Como não foi fornecida uma tabela de vapor, adotei a aproximação padrão:
h_{fg} \approx 2{,}257\times10^{6}\\ \text{J/kg}.
Resolver para \dot m_{\text{vap}}:
\dot m_{\text{vap}} = \frac{\dot Q}{h_{fg}} = \frac{193{,}106}{2{,}257\times10^{6}} = 8{,}5569\times10^{-5}\\ \text{kg/s}.
Converter \text{kg/s} para \text{ton/h}:
  • Primeiro \text{kg/s} para \text{kg/h}: multiplicar por 3600: 8{,}5569\times10^{-5}\cdot3600 = 0{,}308049\\ \text{kg/h}.
  • Agora \text{kg/h} para \text{ton/h} (1 ton = 1000 kg): dividir por 1000:
\dot m_{\text{vap}} = 0{,}308049/1000 = 3{,}08049\times10^{-4}\\ \text{ton/h}.
Arredondando com coerência: \dot m_{\text{vap}}\approx 3{,}08\times10^{-4}\\ \text{ton/h}.

Passo 6

Calcular o custo operacional do vapor por metro cúbico de leite.
Passos:
  1. Custo horário do vapor (R$/h) = vazão de vapor em \text{ton/h} × C_{\text{vapor}} (R$/ton):
\text{Custo}_{\text{h}} = \dot m_{\text{vap}}(\text{ton/h})\cdot C_{\text{vapor}}.
Substituindo:
\text{Custo}_{\text{h}} = 3{,}08049\times10^{-4}\cdot 59 = 0{,}018175\\ \text{R\$/h}.
  1. Volume de leite tratado por hora em \text{m}^3/\text{h}:
\dot V_{\text{leite}} = 2{,}850\\ \text{L/h} = 2{,}850\times10^{-3}\\ \text{m}^3/\text{h} = 0{,}00285\\ \text{m}^3/\text{h}.
  1. Custo por metro cúbico de leite:
\text{Custo (R\$/m}^3) = \frac{\text{Custo}_{\text{h}}}{\dot V_{\text{leite}}} = \frac{0{,}018175}{0{,}00285} = 6{,}3767\\ \text{R\$/m}^3.
Arredondando de forma razoável:
\text{Custo}\approx 6{,}38\\ \text{R\$/m}^3.
Pequena observação: esse custo reflete apenas o custo do vapor (energia) e depende da aproximação adotada para h_{fg}. Se o valor real de h_{fg} para 145^\circ\text{C} for usado, o resultado mudará um pouco.

Resposta

(a) \dot Q \approx 0{,}193\\ \text{kW}
(b) \dot m_{\text{vap}} \approx 3{,}08\times10^{-4}\\ \text{ton/h}
(c) Custo \approx 6{,}38\\ \text{R\$ / m}^3

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