Tem-se um reservatório elevado com altura de água disponível de 15 m alimentando um reservatório enterrado através de uma tubulação de aço galvanizado (\varepsilon=0,15 \mathrm{~mm}) de 120 m de comprimento. Sendo necessária uma vazão de 5 \mathrm{I} / \mathrm{s}, determine (a) ( 0.5 ponto) a perda de carga e ( 2.0 ponto) o diâmetro dessa tubulação para realizar a tarefa. Considerando o Método Iterativo, suponha um valor inicial para D igual a 0.040 m e faça 2 iterações.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar a perda de carga (head loss) na tubulação;
  • (b) determinar o diâmetro da tubulação que permita a vazão requerida.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Vazão: Q=5\\ \mathrm{L/s}=0,005\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Altura disponível (carga do reservatório): H=15\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da tubulação: L=120\\ \mathrm{m}.
  • Rugosidade absoluta do aço galvanizado: \varepsilon=0,15\\ \mathrm{mm}=0,00015\\ \mathrm{m}.
Condições/hipóteses adotadas (não pedidas explicitamente, mas necessárias para calcular):
  • Água a 20^\circ\mathrm{C}: viscosidade cinemática \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Desprezam‑se perdas localizadas (somente perda por atrito ao longo do comprimento).
  • Método iterativo pedido: começar com D_0=0{,}040\\ \mathrm{m} e fazer 2 iterações para obter o diâmetro.

Passo 2

Formulas e esquema de resolução (aula curta, passo a passo):
  1. Área da seção e velocidade média:
A=\frac{\pi D^2}{4},\qquad V=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^2}.
Explicação: A é a área circular; a velocidade média V é vazão dividida pela área.
  1. Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}.
Explicação: Reynolds indica regime (laminar se \mathrm{Re}<2000, turbulento se maior). O fator de atrito depende de \mathrm{Re} e da rugosidade relativa \varepsilon/D.
  1. Perda de carga pela equação de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Explicação: f é o fator de atrito de Darcy (adimensional), L/D é o comprimento em diâmetros, V^2/(2g) é a “carga dinâmica”.
  1. Relação entre D e f quando impomos h_f=H (isto é, queremos que as perdas consumam exatamente a carga disponível para garantir a vazão dada):
    a) Substituindo V em h_f e isolando D obtém‑se (passo algébrico):
H = f\,L\,\frac{8Q^2}{g\pi^2}\,\frac{1}{D^5}.
Portanto
D = \left(\frac{f\,L\,8Q^2}{g\pi^2 H}\right)^{1/5}.
Explicação: essa expressão dá o diâmetro em função do fator de atrito f. Como f depende de D (via \mathrm{Re} e \varepsilon/D), precisamos iterar: assumir D, calcular f, obter novo D, e repetir.
  1. Como f depende implicitamente via Colebrook, para facilitar as iterações vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa aproximação para regime turbulento):
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Explicação: essa fórmula dá f diretamente a partir de \mathrm{Re} e \varepsilon/D; é adequada quando \mathrm{Re}\gtrsim4000 (turbulento), o que será o caso aqui.
Esquema iterativo que seguirei:
  • Assumir D (começando em D_0=0{,}040\\ \mathrm{m});
  • Calcular A, V, \mathrm{Re};
  • Calcular f via Swamee–Jain;
  • Calcular novo D pela fórmula de D acima;
  • Repetir 2 iterações conforme solicitado.

Passo 3

Tomando D_0=0{,}040\\ \mathrm{m}.
Calcular área e velocidade:
A_0=\frac{\pi D_0^2}{4}=\frac{\pi(0{,}040)^2}{4}= \pi\cdot0{,}0004 \approx 0{,}0012566\\ \mathrm{m^2}.
V_0=\frac{Q}{A_0}=\frac{0{,}005}{0{,}0012566}\approx 3{,}979\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re}_0=\frac{V_0 D_0}{\nu}=\frac{3{,}979\cdot0{,}040}{1{,}0\times10^{-6}}\approx1{,}592\times10^{5}.
Isto mostra regime turbulento (ok usar Swamee–Jain).
Rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D_0}=\frac{0{,}00015}{0{,}040}=0{,}00375.

Passo 4

Usando Swamee–Jain:
f_0=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D_0}+\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}_0^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Calculemos os termos:
\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D_0}=\frac{0{,}00015}{3{,}7\cdot0{,}040}\approx0{,}0010135, \qquad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}_0^{0{,}9}}\approx\frac{5{,}74}{(1{,}592\times10^{5})^{0{,}9}}\approx0{,}00012.
Somando e aplicando o logaritmo:
\log_{10}(\cdots)\approx\log_{10}(0{,}0011331)\approx -2{,}946.
Logo
f_0\approx\frac{0{,}25}{(-2{,}946)^2}\approx0{,}0288.

Passo 5

Usando a fórmula
D_1 = \left(\frac{f_0\,L\,8Q^2}{g\pi^2 H}\right)^{1/5}.
Substituindo os números:
8Q^2 = 8\cdot(0{,}005)^2 = 8\cdot2{,}5\times10^{-5}=2{,}0\times10^{-4}.
\frac{f_0\,L\,8Q^2}{g\pi^2 H} = \frac{0{,}0288\cdot120\cdot2{,}0\times10^{-4}}{9{,}81\cdot\pi^2\cdot15} \approx 4{,}764\times10^{-7}.
Tomando a quinta raiz:
D_1\approx(4{,}764\times10^{-7})^{1/5}\approx0{,}0545\\ \mathrm{m}.
Portanto, após a primeira iteração obtemos D_1\approx0{,}0545\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Agora com D_1=0{,}0545\\ \mathrm{m}:
Calcular área e velocidade:
A_1=\frac{\pi D_1^2}{4}\approx\frac{\pi(0{,}0545)^2}{4}\approx0{,}002331\\ \mathrm{m^2},
V_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{0{,}005}{0{,}002331}\approx2{,}145\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re}_1=\frac{V_1 D_1}{\nu}\approx\frac{2{,}145\cdot0{,}0545}{1{,}0\times10^{-6}}\approx1{,}170\times10^{5}.
Rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D_1}=\frac{0{,}00015}{0{,}0545}\approx0{,}002752.
Calcular f_1 via Swamee–Jain:
\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D_1}\approx0{,}000744,\qquad \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}_1^{0{,}9}}\approx0{,}000158,
soma \approx0{,}000902, \log_{10}(\cdots)\approx-3{,}045. Assim
f_1\approx\frac{0{,}25}{(-3{,}045)^2}\approx0{,}0270\\ (\text{aprox. }0{,}02696).
Atualizar o diâmetro:
D_2=\left(\frac{f_1\,L\,8Q^2}{g\pi^2 H}\right)^{1/5}.
Substituindo:
\frac{f_1\,L\,8Q^2}{g\pi^2 H}\approx 4{,}455\times10^{-7},
D_2\approx(4{,}455\times10^{-7})^{1/5}\approx0{,}0536\\ \mathrm{m}.
Assim, após duas iterações temos D_2\approx0{,}0536\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Com D_2=0{,}0536\\ \mathrm{m} e f_1\approx0{,}02696 (valor usado na atualização), calculemos a perda de carga real pelo Darcy–Weisbach para verificar:
A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}\approx0{,}002255\\ \mathrm{m^2},\quad V_2=\frac{Q}{A_2}\approx2{,}218\\ \mathrm{m/s}.
h_f = f_1\,\frac{L}{D_2}\,\frac{V_2^2}{2g} \approx0{,}02696\cdot\frac{120}{0{,}0536}\cdot\frac{(2{,}218)^2}{2\cdot9{,}81} \approx15{,}13\\ \mathrm{m}.
Comentário didático: o procedimento foi construir uma equação que força h_f=H e iterar porque f depende de D. Após 2 iterações obtemos um D que dá uma perda de carga muito próxima de 15\\ \mathrm{m} (a checagem deu 15{,}13\\ \mathrm{m}; com mais iterações esse valor converge ainda mais para 15{,}00\\ \mathrm{m}). Para a prova: siga exatamente esses passos (calcular V,\mathrm{Re}, f, atualizar D) e lembre‑se de justificar uso de Swamee–Jain (ou resolver Colebrook iterativamente se pedirem).

Resposta

Perda de carga: h_f\approx15{,}13\\ \mathrm{m}\n
Diâmetro (após 2 iterações): D\approx0{,}0536\\ \mathrm{m}

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