Tem-se um reservatório elevado com altura de água disponível de 15 m alimentando um reservatório enterrado através de uma tubulação de aço galvanizado
de 120 m de comprimento. Sendo necessária uma vazão de 5
, determine (a) ( 0.5 ponto) a perda de carga e ( 2.0 ponto) o diâmetro dessa tubulação para realizar a tarefa. Considerando o Método Iterativo, suponha um valor inicial para D igual a 0.040 m e faça 2 iterações.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) determinar a perda de carga (head loss) na tubulação;
- (b) determinar o diâmetro da tubulação que permita a vazão requerida.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Vazão:
. - Altura disponível (carga do reservatório):
. - Comprimento da tubulação:
. - Rugosidade absoluta do aço galvanizado:
.
Condições/hipóteses adotadas (não pedidas explicitamente, mas necessárias para calcular):
- Água a
: viscosidade cinemática . - Aceleração da gravidade:
. - Desprezam‑se perdas localizadas (somente perda por atrito ao longo do comprimento).
- Método iterativo pedido: começar com
e fazer 2 iterações para obter o diâmetro.
Passo 2
Formulas e esquema de resolução (aula curta, passo a passo):
- Área da seção e velocidade média:
Explicação:
é a área circular; a velocidade média
é vazão dividida pela área.
- Número de Reynolds:
Explicação: Reynolds indica regime (laminar se
, turbulento se maior). O fator de atrito depende de
e da rugosidade relativa
.
- Perda de carga pela equação de Darcy–Weisbach:
Explicação:
é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
é o comprimento em diâmetros,
é a “carga dinâmica”.
- Relação entre
e quando impomos (isto é, queremos que as perdas consumam exatamente a carga disponível para garantir a vazão dada):
a) Substituindoem e isolando obtém‑se (passo algébrico):
Portanto
Explicação: essa expressão dá o diâmetro em função do fator de atrito
. Como
depende de
(via
e
), precisamos iterar: assumir
, calcular
, obter novo
, e repetir.
- Como
depende implicitamente via Colebrook, para facilitar as iterações vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa aproximação para regime turbulento):
Explicação: essa fórmula dá
diretamente a partir de
e
; é adequada quando
(turbulento), o que será o caso aqui.
Esquema iterativo que seguirei:
- Assumir
(começando em ); - Calcular
, , ; - Calcular
via Swamee–Jain; - Calcular novo
pela fórmula de acima; - Repetir 2 iterações conforme solicitado.
Passo 3
Tomando
.
Calcular área e velocidade:
Número de Reynolds:
Isto mostra regime turbulento (ok usar Swamee–Jain).
Rugosidade relativa:
Passo 4
Usando Swamee–Jain:
Calculemos os termos:
Somando e aplicando o logaritmo:
Logo
Passo 5
Usando a fórmula
Substituindo os números:
Tomando a quinta raiz:
Portanto, após a primeira iteração obtemos
.
Passo 6
Agora com
:
Calcular área e velocidade:
Número de Reynolds:
Rugosidade relativa:
Calcular
via Swamee–Jain:
soma
,
. Assim
Atualizar o diâmetro:
Substituindo:
Assim, após duas iterações temos
.
Passo 7
Com
e
(valor usado na atualização), calculemos a perda de carga real pelo Darcy–Weisbach para verificar:
Comentário didático: o procedimento foi construir uma equação que força
e iterar porque
depende de
. Após 2 iterações obtemos um
que dá uma perda de carga muito próxima de
(a checagem deu
; com mais iterações esse valor converge ainda mais para
). Para a prova: siga exatamente esses passos (calcular
,
, atualizar
) e lembre‑se de justificar uso de Swamee–Jain (ou resolver Colebrook iterativamente se pedirem).
Resposta
Perda de carga:
\n
Diâmetro (após 2 iterações):
Diâmetro (após 2 iterações):