Questão 6. (2pts) Quais analogias dos números adimensionais podem ser feitas entre os fenômenos de transferência de calor e de massa, em termos de resistências e difusividades?Explique.
Passo 1
O enunciado pede que eu explique as analogias entre os fenômenos de transferência de calor e de massa, especificamente:
- Que analogias podem ser feitas em termos de resistências (como resistência convectiva e condutiva) e em termos de difusividades (como difusividade térmica e difusividade de massa).
- Quero uma explicação didática para eu poder usar isso na prova.
Informações que vou usar (dados conceituais, não numéricos):
- Leis fundamentais: Lei de Fourier (calor) e Lei de Fick (massa).
- Definições de coeficientes: coeficiente de transferência de calor
, condutividade térmica ; coeficiente de transferência de massa (ou em algumas notações), difusividade de massa . - Números adimensionais relevantes:
, , , , , , e número de Fourier .
Passo 2
Começo pelo paralelo entre as leis de transporte — isso é a base da analogia.
Lei de Fourier (fluxo de calor por unidade de área):
onde
-
é o fluxo de calor (W/m ), -
é a condutividade térmica (W/m·K), -
é a temperatura (K).
Lei de Fick (fluxo de massa por unidade de área, usando concentração molar
):
onde
-
é o fluxo de massa molar (mol/m ·s), -
é a difusividade de massa (m /s), -
é a concentração molar (mol/m ).
Comentário pedagógico: as formas são análogas — ambos dizem que o fluxo é proporcional ao gradiente da “quantidade” (temperatura ou concentração) com um coeficiente que mede a facilidade de transporte (
ou
). Atenção às unidades:
e
têm unidades diferentes, então a analogia é de forma matemática e física, não de unidades diretas.
Passo 3
Mapeamento direto de variáveis (ajuda mental para a prova):
- Temperatura
Concentração (ou fração mássica , conforme a formulação). - Fluxo de calor
Fluxo de massa . - Condutividade térmica
Difusividade aparente associada ao transporte de massa; em problemas transientes geralmente relaciona-se a difusividade térmica e difusividade de massa (ver próximo passo). - Coeficiente convectivo
(W/m K) Coeficiente convectivo de massa (m/s). Ambos expressam a “resistência” do filme convectivo entre superfície e fluido.
Exemplo mental simples: substituir mentalmente
por
e
por
transforma muitos problemas de calor em problemas de massa (mantendo atenção às unidades).
Passo 4
Difusividades e números que comparam difusividades — definição e significado
Definições importantes:
Números adimensionais que ligam transporte de momento, calor e massa:
onde
-
é a viscosidade cinemática (m /s), -
(Prandtl) compara difusão de momento com difusão térmica, -
(Schmidt) compara difusão de momento com difusão de massa, -
(Lewis) compara difusão térmica com difusão de massa.
Interpretação física:
- Se
então : a difusão térmica é mais rápida que a difusão de massa → a camada térmica é mais espessa que a camada de concentração para o mesmo tempo de penetração. - Se
a massa difunde mais rápido que o calor.
Passo 5
Consequência prática sobre espessuras de camada limite
Para processos não estacionários a profundidade de penetração típica escala como
. Assim:
Logo a razão entre as espessuras é
Explicação em linguagem simples: o número de Lewis diz se a camada onde a temperatura varia é maior ou menor que a camada onde a concentração varia. Isso é útil para decidir, por exemplo, se na superfície a temperatura já está praticamente uniforme enquanto a concentração ainda varia (ou vice‑versa).
Passo 6
Analogia entre resistências (modelo elétrico de resistências em série/paralelo)
Para calor (resistências térmicas):
onde
é espessura,
área.
Para massa (resistências difusivas/convectivas):
- Resistência difusiva interna aproximada:
(atenção à variável de base; se se trabalha em fração mássica ou concentração molar os fatores de densidade podem aparecer).
- Resistência convectiva de massa:
Analogias práticas:
- A fórmula para resistência em série vale igualmente: se existe uma resistência difusiva interna e um filme convectivo externo, a resistência total é soma das resistências (igual ao caso térmico).
- O número de Biot é a razão entre resistência interna e externa:
Interpretação:
significa que a resistência interna é pequena comparada à do filme — no calor isto justifica o método da capacidade concentrada; em massa a ideia é análoga.
Passo 7
Nusselt e Sherwood: coeficientes convectivos adimensionais e correlações
Definições:
Esses números medem a eficiência do transporte convectivo relativo ao transporte difusivo (térmico ou de massa). A analogia direta prática é:
- Correlacões empíricas para
normalmente têm a forma . - Correlacões empíricas para
têm a mesma forma, trocando por : .
Exemplo clássico: Dittus–Boelter para calor
analogamente para massa
Isso permite transpor técnicas e correlações entre calor e massa substituindo os números adimensionais correspondentes.
Passo 8
Transientes: número de Fourier e análoga para massa
Número de Fourier térmico:
Número de Fourier para massa:
Soluções temporais de condução/difusão (por exemplo soluções com função erro) têm forma matemática análoga se trocar
e
. Em provas, ao reconhecer um problema de difusão de massa dá para adaptar soluções de calor com as trocas indicadas.
Passo 9
Resumo prático (o que levar para a prova — versão “cola” mental)
Trocas diretas usadas frequentemente:
-
(ou , ), -
, -
(condutividade) ↔ (difusividade) na forma das leis locais; para transientes usar ↔ , -
(coef. conv. calor) ↔ (coef. conv. massa), -
↔ , -
↔ , -
, -
↔ , -
↔ .
Resumo físico: as analogias permitem tratar transferência de massa como uma “versão” da transferência de calor trocando grandezas e números adimensionais correspondentes — sempre verificando unidades e fatores de densidade/Capacidade específicos quando necessário.
Passo 10
Um lembrete amigável e final (motivação)
- Na prova: se estiver acostumado com correlações de calor, aplique a mesma forma às de massa trocando
por , por , por . - Se tiver dúvida sobre espessuras de camada, calcule
: se a camada térmica é mais espessa; se a camada de concentração é mais espessa.
Força aí — com essas trocas fica muito mais fácil resolver questões de massa a partir do que já se sabe de calor!
Resposta
As principais analogias são:
(temperatura ↔ concentração),
(fluxo de calor ↔ fluxo de massa),
(condutividade térmica ↔ difusividade de massa) e
(coeficiente convectivo térmico ↔ coeficiente convectivo de massa). Em números adimensionais:
↔
;
↔
;
relaciona as espessuras das camadas limite térmica e de concentração (
). Em termos de resistências:
e
têm análogos
e
, e os Biots são análogos
↔
. Transientes também são análogos via
↔
.