02-1,6 Pontos) Em um evaporador de simples efeito, um suco de abacaxi é concentrado. Este suco entra no evaporador com um teor de sólidos ( \mathrm{X}_{\mathrm{in}} ) e sai como concentrado com um teor de sólidos (Xout).
◯ suco concentrado deixa o evaporador com uma vazāo mássica (ωsuco), com a fonte de aquecimento do processo através de vapor saturado que entra na jaqueta do evaporador a uma temperatura (Tvap) e sai como condensado na mesma temperatura.
Os dados a seguir são únicos e específicos para cada aluno e devem ser obtidos na Tabela abaixo:
✓ Teor de Sólidos do Suco na Entrada do Evaporador ( \mathrm{X}_{\mathrm{in}} ): em % em massa
✓ Teor de Sólidos do Suco na Saída do Evaporador (Xout): em % em massa
✓ Vazão Mássica de Suco Concentrado (ωsuco): em kg / h
✓ Temperatura de Entrada do Suco (Tin): em { }^{\circ} \mathrm{C}
✓ Temperatura de Evaporação/Saída do Suco (Tout): em { }^{\circ} \mathrm{C}
✓ Calor Específico Médio do Suco ( \mathrm{C}_{\mathrm{p}} ): em kJ / kg K
✓ Temperatura do Vapor de Aquecimento (Tvap): igual a questão 1 em { }^{\circ} \mathrm{C}
ALUNO \mathbf{X}_{\text {IN }} ( \% \mathrm{~m} / \mathrm{m} ) Xout ( \% \mathrm{~m} / \mathrm{m} ) ωsuco (kg / h) Tin \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) Tout \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \mathrm{C}_{\mathrm{p}} ( \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} )
1 0,06 0,44 1.250 22 76 3,77
2 0,09 0,48 3.850 27 65 3,88
3 0,13 0,51 2.600 20 72 3,64
4 0,07 0,39 4.950 18 68 3,81
5 0,16 0,46 1.780 25 79 3,57
6 0,05 0,55 3.100 30 74 3,92
7 0,12 0,43 4.250 17 70 3,73
8 0,08 0,52 2.300 26 61 3,66
9 0,11 0,41 1.620 19 77 3,91
10 0,14 0,50 4.750 24 63 3,59
11 0,09 0,35 3.430 15 80 3,85
Com base nos seus dados exclusivos, resolva:
a) Determine o balanço de massa e balanço de energia desta operação unitária
b) Calcule a quantidade de vapor necessária (ton / h) para realizar a evaporação do suco de abacaxi

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar o balanço de massa e o balanço de energia da operação unitária (evaporação simples);
  • (b) calcular a quantidade de vapor necessária (ton/h) para realizar a evaporação do suco.
As informações gerais fornecidas (extraídas da tabela mas sem escolher uma linha específica) são:
  • Teor de sólidos na entrada: X_{in} (fração massa/massa, por ex. 0,06 = 6\%);
  • Teor de sólidos na saída (concentrado): X_{out} (fração massa/massa);
  • Vazão mássica do suco concentrado (saída do evaporador): \omega_{suco} (kg/h) — isto é \dot{m}_{out};
  • Temperatura do suco na entrada: T_{in} (^\circ C);
  • Temperatura do suco na saída / evaporação: T_{out} (^\circ C);
  • Calor específico médio do suco: C_p (kJ/kg·K);
  • Temperatura do vapor de aquecimento: T_{vap} (^\circ C) — observação: o enunciado refere que T_{vap} vem da questão 1; esse valor não foi fornecido aqui.
    Observação importante: para obter um valor numérico final de massa de vapor é necessário conhecer o valor da entalpia latente (calor latente) da água \lambda à temperatura de evaporação T_{vap} (valor que se obtém em tabelas de vapor/água). Como o enunciado não indicou explicitamente qual linha da tabela (qual aluno) ou o T_{vap} numérico, vou formular os balanços de forma simbólica e mostrar claramente como calcular o resultado numérico assim que esses dados reais forem colocados.

Passo 2

Definição de fluxos e convenções (variáveis e unidades):
  • \dot{m}_{in} = vazão mássica de suco na entrada do evaporador (kg/h).
  • \dot{m}_{out}=\omega_{suco} = vazão mássica do suco concentrado (kg/h) — dado na tabela.
  • \dot{m}_{evap} = massa de água evaporada do suco (kg/h).
  • \dot{m}_{steam} = vazão mássica de vapor de aquecimento (kg/h).
  • X_{in}, X_{out} = teores de sólidos (fração massa/massa).
  • C_p = calor específico médio do suco (kJ/kg·K).
  • T_{in}, T_{out} = temperaturas (^\circ C).
  • \lambda = calor latente de vaporização da água à temperatura de evaporação (kJ/kg). Deve ser obtido em tabela de vapor para T_{vap}.
    (Unidades consistentes: kJ, kg, K, h — assim potência térmica em kJ/h.)

Passo 3

Explicação didática curta: os sólidos não evaporam (assumimos que só a água evapora). Logo a massa de sólidos que entra é igual à que sai.
Escrevendo matematicamente:
\dot{m}_{in}\,X_{in}=\dot{m}_{out}\,X_{out}.
Isolando \dot{m}_{in}:
\dot{m}_{in}=\dot{m}_{out}\,\frac{X_{out}}{X_{in}}.
Comentário prático: essa fórmula permite calcular quanto de suco fresco (entrada) é necessário para obter \dot{m}_{out}=\omega_{suco} de concentrado, dado os teores X_{in} e X_{out}. Veja que X_{in} e X_{out} devem estar em fração (não em %).

Passo 4

A massa de água removida (evaporada) é a diferença entre a massa de alimentação e a massa do concentrado:
\dot{m}_{evap}=\dot{m}_{in}-\dot{m}_{out}.
Substituindo \dot{m}_{in} da equação do passo anterior, se desejado:
\dot{m}_{evap}=\dot{m}_{out}\left(\frac{X_{out}}{X_{in}}-1\right).
Isso é útil porque expressa a água evaporada diretamente em função dos dados conhecidos \dot{m}_{out}, X_{in}, X_{out}.

Passo 5

Explicação didática curta: o calor que entra pelo vapor condensado é usado para (1) aquecer o suco da temperatura T_{in} até T_{out} (efeito sensível), e (2) fornecer a energia de vaporização para evaporar \dot{m}_{evap} de água. Assumimos sem perdas para o ambiente e sem variação de energia cinética/potencial.
Termos:
  • Calor fornecido pelo vapor que condensa: \dot{m}_{steam}\,\lambda (kJ/h).
  • Calor necessário para aquecer o conjunto de massa que entra: \dot{m}_{in}\,C_p\,(T_{out}-T_{in}) (kJ/h).
  • Calor necessário para evaporar a água removida: \dot{m}_{evap}\,\lambda (kJ/h) — aqui usamos a mesma \lambda como calor de vaporização da água à temperatura de evaporação (é costume usar o mesmo valor da tabela porque é a energia de transição líquido→vapor à essa temperatura).
Observação didática: se existirem perdas térmicas significativas ou se o condensado for resfriado (liberando energia), essas parcelas devem ser acrescentadas/subtraídas; aqui consideramos sistema ideal sem perdas e que o vapor saturado condensa à T_{vap} liberando \lambda.

Passo 6

Escrevendo o balanço de energia:
\dot{m}_{steam}\,\lambda=\dot{m}_{in}\,C_p\,(T_{out}-T_{in})+\dot{m}_{evap}\,\lambda.
Isolando \dot{m}_{steam}:
\dot{m}_{steam}=\dot{m}_{evap}+\frac{\dot{m}_{in}\,C_p\,(T_{out}-T_{in})}{\lambda}.
Comentário didático: a primeira parcela \dot{m}_{evap} corresponde ao vapor necessário só para fornecer a energia de vaporização da água; a segunda parcela é o vapor extra necessário para fornecer o aquecimento sensível do fluxo de alimentação. As unidades conferem: \dot{m}_{in} em kg/h, C_p em kJ/kg·K, \Delta T em K e \lambda em kJ/kg → razão adimensional em kg/h.

Passo 7

A vazão de vapor em toneladas por hora é:
\dot{M}_{steam,\text{ton/h}}=\frac{\dot{m}_{steam}}{1000}.

Passo 8

  1. Pegue da tabela a linha correspondente ao seu ALUNO: leia X_{in}, X_{out}, \dot{m}_{out}=\omega_{suco}, T_{in}, T_{out}, C_p.
  2. Calcule \dot{m}_{in}=\dot{m}_{out}\dfrac{X_{out}}{X_{in}}.
  3. Calcule \dot{m}_{evap}=\dot{m}_{in}-\dot{m}_{out} (ou use a forma com frações).
  4. Obtenha em tabelas de vapor o calor latente \lambda (kJ/kg) correspondente à temperatura de evaporação T_{vap} (que o enunciado diz vir da questão 1).
  5. Calcule \dot{m}_{steam}=\dot{m}_{evap}+\dfrac{\dot{m}_{in}C_p(T_{out}-T_{in})}{\lambda} (kg/h).
  6. Converta para ton/h dividindo por 1000.
Dica encorajadora: se estiver sem tabela de vapor na prova, muitas questões permitem usar aproximação \lambda\approx 2{,}257\times10^{3}\\ \text{kJ/kg} (valor a 100^\circC) como estimativa — mas se a prova exigir precisão use o valor em T_{vap}.

Passo 9

  • Verifique sempre que X_{in} e X_{out} estejam em fração (por ex. 6\% 0,06). Se estiverem em \%, divida por 100.
  • Verifique unidades: C_p em kJ/kg·K e \lambda em kJ/kg. Resultado \dot{m}_{steam} em kg/h.
  • Se houver calor perdido ao ambiente ou condensado reciclado que sai a temperatura diferente, inclua essas parcelas no balanço de energia.
  • Se quiser, me indique qual a sua linha (número do ALUNO) e o T_{vap} (ou eu posso assumir um \lambda de referência) que eu faço as contas numéricas passo a passo para o seu caso — mas não vou pedir isso se você preferir usar a receita acima na sua prova!

Resposta

(a) Balanço de massa (sólidos): \displaystyle \dot{m}_{in}\,X_{in}=\dot{m}_{out}\,X_{out} \Rightarrow \displaystyle \dot{m}_{in}=\dot{m}_{out}\,\frac{X_{out}}{X_{in}}.
Quantidade de água evaporada: \displaystyle \dot{m}_{evap}=\dot{m}_{in}-\dot{m}_{out}=\dot{m}_{out}\Big(\frac{X_{out}}{X_{in}}-1\Big).
(b) Balanço de energia e vazão de vapor:
\dot{m}_{steam}\,\lambda=\dot{m}_{in}\,C_p\,(T_{out}-T_{in})+\dot{m}_{evap}\,\lambda,
logo
\dot{m}_{steam}=\dot{m}_{evap}+\frac{\dot{m}_{in}\,C_p\,(T_{out}-T_{in})}{\lambda}\quad(\text{kg/h}).
Em toneladas por hora:
\dot{M}_{steam,\text{ton/h}}=\frac{\dot{m}_{steam}}{1000}.

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